ПРЕДИСЛОВИЕ
Я соединил в этой книге теорию семейств аналитических функций и наиболее выдающиеся результаты, которые получаются с помощью этой теории.
В этом изучении мероморфные функции должны рассматриваться как регулярные и непрерывные: значение бесконечность не играет специальной роли, и полюсы не являются особыми точками.
Мероморфные функции, не принимающие никогда некоторых значений, называемых тогда исключительными, образуют замечательные семейства функций. С этой точки зрения голоморфные функции должны рассматриваться, как имеющие общее исключительное значение: значение бесконечность.
Как только для функций семейства будут существовать три исключительных значения, семейство будет нормальным, иначе говоря, всякое бесконечное множество принадлежащих ему функций порождает подпоследовательность, сходящуюся равномерно к предельной функции. Этот результат, тесно связанный с теоремой Пикара (Picard), устанавливающей, что два есть наибольшее число исключительных значений однозначной функции около изолированной особой точки, занимает центральное место в теории нормальных семейств.
Каратеодори (Caratheodory) первый приложил теорию нормальных семейств к изучению конформного отображения; та же теория дает полный анализ соответствия границ.
Она способствует углубленному изучению свойств однозначных функций вблизи изолированной особой точки. Плоскость комплексного переменного около этой точки разбивают на бесконечное множество областей, и конформное отображение этих областей на фиксированную область вводит семейство функций. Изучение этого семейства дает предложения теперь классические, такие, как важный результат Жюлиа (Julia) о расцределении аргументов нулей и свойства функций Островского, для которых это распределение есть исключительное.
Одно из наиболее интересных приложений теории нормальных семейств касается итерации рациональных функций, общее изучение которой
было продвинуто очень далеко по этому пути прекрасными работами Фату (Fatou) и Жюлиа.
Первые главы этого сочинения послужили предметом лекций, прочитанных в Высшей нормальной школе. Они были собраны Барботтом (Barbotte), который имел много хлопот при их редактировании и внес много уточнений и основательных замечаний, использованных мною: я пользуюсь случаем принести ему мою живейшую благодарность.
Эти первые главы я дополнил в различных пунктах и добавил новые главы, содержащие вопросы, которых я не мог коснуться в лекциях или исследование которых только что началось, в частности исследование об исключительных функциях, итерация, функции многих переменных и сложные семейства.
