ГЛАВА II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ С ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ. КВАЗИ-НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА. ФУНКЦИИ ШВАРЦА

§ 26. Теорема Пэнлеве.

Пэнлеве (Painleve) доказал следующую теорему, которая позволит нам выполнять некоторые аналитические продолжения» Рассмотрим (фиг. 7) область ограниченную спрямляемой кривой и разделенную на две подобласти дугой спрямляемой линии концы которой суть пусть две функции, соответственно голоморфные в замкнутых областях

Если функции принимают одни и те же значения во всякой точке, разделяющей линии то каждая из этих функций является аналитическим продолжением другой за линию

В самом деле, пусть точка внутренняя Можно написать:

складывая почленно и замечая, что на

получаем:

Фиг. 7,

Если заключено внутри то так же найдем, что аналитическое выражение, стоящее в правой части, представляет Это выражение есть интеграл Коши для функции, непрерывной на коктуре (С); оно определяет функцию голоморфную в которая совпадает с в замкнутой области в замкнутой области Итак, предложение доказано.

Теорема Пэнлеве остается верной, если каждая из функций не предполагаемых аналитическими на линии принимает на ней непрерывную последовательность значений. В этом случае нужно наложить некоторые ограничения на линию чтобы теорема Коши была приложим а к контурам Так как в дальнейшем мы будем

применять теорему к случаю, где есть прямолинейный отрезок или дуга окружности, то эти ограничения не имеют значений для наших приложений.

Однако уточним смысл слов: принимать на кривой непрерывную последовательность значений. Мы говорим, что функция определенная в области, граница которой содержит принимает на этой линии непрерывную последовательность значений, когда для последовательности

точек области с единственной предельной точкой на линии последовательность значений

имеет единственный предел не зависящий от рассматриваемой последовательности и зависящий только от

В этом случае есть функция непрерывная на стремится равномерно к каково бы ни было на Иными словами для любого положительного можно найти положительное 8 такое, что для всякой точки на и для точки принадлежащей области или для которых

имеет место неравенство:

В самом деле, в противном случае существует последовательность пар точек таких, что где некоторое фиксированное число. Можно допустить, что точки имеют единственную предельную точку на (извлекая, в случае надобности, подпоследовательности). В любой окрестности точки находятся пары точек такие, что Так как согласно условию значения функции в точках линии могут быть с любой степенью точности, пусть с точностью до заменены значениями в достаточно близких точках области, то отсюда следует, что в любой окрестности существуют пары точек области, для которых Но это невозможно, так как и сходиться к