§ 6. Множества точек в произвольном пространстве.

Теорема § 1 о существовании предельной точки для бесконечного множества точек может быть распространена на пространство. с произвольным конечным числом измерений.

Мы называем точкой пространства измерений систему комплексных чисел конечных или бесконечных.

Выберем. произвольно из данного множества бесконечную последовательность точек т. е. бесконечную последовательность систем чисел, которые запишем в виде следующей таблицы:

В силу теоремы § 1 из первой строчки можно выбрать подпоследовательность:

которая сходится к Предположим, что в нашей таблице вычеркнуты все колонны кроме тех, которые соответствуют точкам

Из второй строчки измененной указанным образом таблицы можно выбрать новую бесконечную подпоследовательность:

которая сходится к точке Заметим, что последовательность:

сходится к потому что она выбрана из последовательности:

Выбросим из таблицы все колонны, отличные от колонн и повторим ту же операцию с третьей строкой новой таблицы и продолжая так, мы получим бесконечную последовательность индексов таких, что последовательность:

сходится к пределу последовательность:

сходится к пределу последовательность:

сходится к пределу

В этих условиях последовательность точек: сходится к предельной точке координаты которой будут потому что для всякого положительного числа можно найти число такое, что для будем иметь:

достаточно взять за наибольшее из чисел, обеспечивающих каждое из неравенств, соответственно для последовательностей:

Точка содержит в своей окрестности бесконечное множество точек последовательности, а следовательно, и бесконечное множество точек множества.