§ 9. Сгущение значений.

Пусть последовательность голоморфных функций сходится внутри области равномерно к голоморфной функции Предположим, что не будет тождественно равно постоянной величине а. Для достаточно большого функция имеет во всякой внутренней области столько же нулей, что и функция

В частности, если является для функции нулем порядка то функция а внутри маленького круга с центром в точке для достаточно большого имеет нулей.

Пусть есть нуль функции проведем внутри круг с центром в точке так, чтобы функция не имела никакого другого нуля ни внутри, ни на окружности у» Тогда имеет на этой окружности положительный минимум так как последовательность на этой окружности сходится равномерно, то будем иметь для достаточно большого

Интеграл

взятый вдоль окружности, равен числу нулей функции внутри т. е. также

равен числу нулей функции внутри т. е. некоторому целому числу. Но последовательность так же как и последовательность , сходится на окружности равномерно, и знаменатель остается по модулю больше Поэтому второй интеграл при бесконечном возрастании имеет пределом первый. Так как он всегда равен целому числу, то это может быть только, если, начиная с некоторого значения он остается равным Тогда уравнение имеет корней, внутри круга.

Предположим, что не имеет нулей на контуре Мы можем повторить предыдущие рассуждения, заменив контуром области Таким образом видно, что для достаточно большого функция а имеет внутри в точности столько же нулей, что причем каждый нуль считается столько раз, какова его кратность.

Если на контуре области будут нули, то этот контур можно заменить близким внутренним контуром, не проходящим через нули