КВАЗИНОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА

§ 69. Определение. Свойства иррегулярных точек.

Семейство мероморфных функций, квазинормальное порядка в области есть семейство мероморфных функций таких, что всякая последовательность функций семейства порождает подпоследовательность, которая равномерно сходится внутри всюду кроме иррегулярных точек.

Изучим природу этих иррегулярных точек.

Прежде всего вспомним и уточним результаты, относящиеся к голоморфным функциям. Точка может быть иррегулярной для

последовательности голоморфных функций только в том случае, когда последовательность сходится к бесконечности. Отсюда выводят, как мы видели, что всякая иррегулярная точка есть предел корней уравнения

каково бы ни было а. Существует также последовательность функций семейства, обладающая следующим свойством: для данного а все уравнения начиная с некоторого индекса имеют корень в окрестности иррегулярной точки А. В самом деле, если А — иррегулярная точка, то существует последовательность (5) функций, которая сходится равномерно вне точки причем ни одна последовательность, выбранная из (5), не сходится равномерно в А. Если же будет существовать бесконечное множество функций из (5), не принимающих значения а, то эта последовательность будет сходиться в точке А равномерно.

Предположим, что существует последовательность функций семейства, равномерно сходящаяся вне и такая, что, начиная с некоторого номера, уравнение

имеет корней внутри произвольно малого круга, содержащего и не существует последовательности такой, что уравнения имеют корень. Тогда мы скажем, что есть иррегулярная точка порядка

Определение порядка не зависит от выбора числа а. Допустим, например, что существует последовательность, равномерно сходящаяся вне для которой а имеет корней. Эта последовательность сходится равномерно к бесконечности на окружности достаточно малого круга с центром в Для достаточно большого имеем на окружности:

следовательно, уравнение

имеет в силу теоремы Руше нулей внутри круга.

Вот примеры: семейство функций есть семейство квазинормальное в области, содержащей начало, и имеет начало иррегулярной точкой; эта точка есть иррегулярная точка порядка, потому то уравнение:

имеет, каково бы ни было а, один корень вблизи начала.

Также семейство имеет начало иррегулярной точкой порядка 2. Семейство имеет начало иррегулярной точкой, но эта точка не будет конечного порядка. Действительно, уравнение т. е. имеете корней, которые стремятся к нулю, когда неограниченно возрастает.

Рассмотрим семейство голоморфных функций, квазинормальное порядка Если всякая последовательность, выбранная из этого семейства, дает начало последовательности, для которой все иррегулярные точки будут конечного порядка и сумма этих порядков:

не превосходит целого числа то мы говорим, что это семейство есть квазинормальное семейство полного порядка Например, семейство функций, принимающих не более раз значение нуль и не более раз значение единица есть полного порядка

Сходящаяся последовательность мероморфных функций может иметь иррегулярные точки и не сходиться к тождественной бесконечности; она может, сходиться вне этих точек к мероморфной или к голоморфной функции. Например, последовательность функций:

где мероморфная и голоморфная функция, полином, сходится равномерно к вне корней этого полинома, в которых функция сходится к

Если точка есть иррегулярная точка для квазинормального семейства мероморфных функций, то существует последовательность функций семейства таких, что, начиная с некоторого индекса, уравнение:

будет иметь корни вблизи каково бы ни было а, кроме, быть может, одного значения для а.

Если бы это было не так, то из всякой бесконечной последовательности функций семейства можно было бы выбрать бесконечную последовательность, не принимающую некоторого значения а в достаточно малом круге с центром из этой последовательности можно было бы выбрать новую последовательность, принимающую некоторого значения . Преобразованием

эта последовательность превращается в квазинормальное семейство голоморфных функций, не принимающих значения нуль; следовательно, можно выбрать третью последовательность, которая сходится равномерно даже в итак, точка не будет иррегулярной.

Пусть последовательность мероморфных функций сходится равномерно вблизи иррегулярной точки если существует число а такое, что, начиная с некоторого номера, функция

имеет нулей в окрестности где определенное целое число, то предельная фуншщк мероморфна в

Другими словами, существует определенный круг с центром в внутри которого каждая функция имеет не более нулей; все эти нули стремятся к и мы предполагаем, что существует бесконечное множество функций, действительно имеющих нулей. Можно предполагать что это выполняется для последовательности Производя в случае нужды линейное преобразование, можно притти к случаю, когда а есть бесконечность. Пусть все полюсы функции , заключенные внутри

Функция

голоморфна в . Когда бесконечно растет, функция стремится к пределу который может быть тождественной бесконечностью. Допустим сначала, что есть обычная мероморфная функция, за исключением, быть может, точки На окружности сходимость равномерна в обычном смысле.

Что касается произведения то оно на окружности сходится равномерно к конечному пределу; то же самое будет внутри, и предел ее голоморфная функция; итак, функция

мероморфна в также в точке В случае, когда есть тождественная бесконечность, теорема остается справедливой, потому что эту постоянную мы будем рассматривать как мероморфную функцию.

Сходимость функций равномерна вблизи точки Если бы была отлична от нуля, то сходились равномерно в точка была бы для полюсом порядка и не была бы иррегулярной точкой. Следовательно, есть сходимость может перестать быть равномерной, потому что есть отношение двух функций, которые сходятся равномерно в точке но обе стремятся к нулю. Тогда возможны две гипотезы: либо тождественно равна нулю, тогда то же самое будет для либо все функции имеют нули вблизи тогда функции имеют нули вблизи

Последовательность мероморфных функций

сходится равномерно вне начала, которое есть существенно особая точка для предельной функции В этом примере для всякого числа а уравнения имеют бесконечное множество нулей вблизи начала.

Знание одного значения которое принимается не более раз функциями последовательности, не может давать никаких указаний о других значениях. Например, последовательность:

имеет начало иррегулярной точкой; принимает всякое значение а вблизи начала один раз. Напротив, функция

хотя и имеет один лишь нуль вблизи начала, но уравнение:

которое дает нули функции для достаточно большого в силу теоремы Руше имеет корней вблизи начала. Следующая теорема дает точный результат.