Обозначим через 
гармоническую функцию, правильную в 
и принимающую на границе 
этой области те же значения, что и
если
и
если
Во всякой точке области 
функция 
, так как она не отрицательна на границе. Далее, во всякой точке внутренней к 
имеет место неравенство:
Это неравенство очевидно, если 
так как в этом случае 
Чтобы доказать его для всякой точки, окружим каждый из нулей 
кружком, настолько малым, чтобы на окружности (а следовательно, и внутри нее), было 
и чтобы кружки не пересекались между собой.
Функция 
будет правильной гармонической в области, полученной из 
путем выбрасывания точек, внутренних к кружкам. На границе, а следовательно, и внутри этой области:
В частности, в точках, в которых 
имеем:
и так как в них
то наше неравенство доказано в полном обьеме. Из неравенства
следует, что последовательность 
не убывает. В самом деле, для точек, лежащих на 
имеем
Это неравенство имеет место на 
а следовательно, и внутри 
Последовательность 
была рассмотрена 
и 
Неванлинна 
Обозначение:
где 
функция действительного переменного 
также введено ими. В силу теоремы Харнака, если последовательность 
ограничена в некоторой точке 
внутри 
то она имеет пределом функцию 
гармоническую в 
и так как на 
выполняется неравенство:
то имеем:
или
Обозначим через 
функцию где 
есть функция сопряжения 
. Имеем:
Если назовем 
произведение 
то видим, что
Функция 
внутри 
есть частное двух ограниченных функций, из которых вторая 
не обращается в нуль в 
Обратно, пусть дана функция 
голоморфная в 
и равная отношению двух функций 
ограниченных в 
можно, очевидно, положить
разделив в случае надобности числитель и знаменатель дроби на число, большее их верхних пределов.
Имеем:
и так как правая часть неотрицательна, то
Итак, на 
имеем:
это неравенство имеет силу и в 
Следовательно, функции 
ограничены и обратное предложение доказано. Заставляя 
неограниченно расти, получаем:
т. е., обозначая через и 
функции, введенные в предыдущем:
и так как
то
Другими словами, функции 
имеют наибольший модуль среди всех пар функций, не превосходящих по модулю единдаы, отношение которых равно 
Итак, мы доказали теорему Ф. и Р. Нэванлинна. Для того чтобы функция 
голоморфная в области 
являлась отношением двух функций, ограниченных в этой области, необходимо и достаточно, чтобы последовательность гармонических функций 
которые принимают значения 
на контурах 
вложенных одна в другую областей, имеющих пределом 
была ограничена в некоторой точке области 
Назовем функцией 
всякую функцию, являющуюся отношением двух ограниченных функций.
Если 
есть круг радиуса единица, то достаточно выразить, что значения 
ограничены в центре 
Но если взять для 
концентрические круги, то, так как значение 
в центре есть среднее для значений на окружности 
радиуса 
будем иметь:
и условие принимает вид:
каково бы ни было 
где 
обозначает фиксированное число. Заметим еще, что неравенство 
влечет и 
следовательно,
которая их содержит, и пусть функция 
голоморфна внутри 
есть функция, гармоническая в 
и регулярная вне точек, где 
обращается в нуль: в этих точках рассматриваемая функция принимает значение — 