§ 83. Обратное предложение.

Таким образом всякая исключительная функция обладает свойствами I, II, III, IV; докажем обратное. Заметим сначала, что можно бесконечно разнообразными способами построить последовательности обладающие предыдущими свойствами. Действительно, свойства I и II касаются числа нулей и полюсов; свойство III касается их модулей и так как эти свойства принадлежат двум последовательностям то после можно всегда выбрать аргументы таким образом, чтобы удовлетворялось условие IV для достаточно малого 8. Чтобы получить последовательности и удовлетворяющие первым трем условиям, достаточно производить операцию шаг за шагом; допустим, что определены нули и полюсы с модулями, меньшими чем и выберем нули и полюсы кольца с модулями, большими мы должны взять вообще К нулей и К полюсов самое большее, если К есть фиксированный верхний предел для этих чисел, и их надо распределить таким образом, чтобы не превосходило что возможно, так как эти условия предполагаются выполненными для кольца

Нужно, сверх того, выбирать модули так, чтобы и не превосходили своих пределов, это легко, ибо число изменяется непрерывно.

Для определенной последовательности функция имеет вид:

где канонические произведения порядка нуль, введенные в § 82, a целая функция, которую можно считать равной нулю для

Сначала займемся функциями лишенными показательного множителя и докажем, что они являются исключительными функциями. Затем мы легко докажем, что для всякой исключительной функции, есть тождественный нуль.

Итак, рассмотрим функцию:

и докажем, что последовательность нормальна внутри ; тогда она нормальна в замкнутой области:

внутри и мы видели, что этого достаточно для того, чтобы была исключительной функцией. Мы можем написать:

где

Функция принимает в те же самые значения, что

когда изменяется в нули и полюсы функции лежат вне круга который ограничивает Имеется не более К нулей в кольце К нулей в кольце

Для первых нулей имеем:

следовательно произведение соответствующих множителей, входящих в произведение превосходит также модуль произведения множителей, соответствующих корням содержащимся в не превосходит Итак:

произведение в правой части, очевидно, сходится. Так же

если К есть верхний предел числа полюсов, заключенных в каждом кольце. Отсюда выводим, что

где постоянное, большее единицы.

Перейдем к произведению если оно имеет нулей и полюсов, то можно написать:

или

Но принимает в те же самые значения, что

в ; следовательно,

как в предыдущем; так как, с другой стороны, меньше то первый множитель из имеет ограниченный модуль.

Что касается то это есть рациональная дробь, числитель и знаменатель которой многочлейы степени меньшей

Пусть тогда дана бесконечная последовательность (5) функций если она содержит подпоследовательность функций, не имеющих ни нулей, ни полюсов в то рассмотрим эту подпоследовательность для которой Каждый член этой последовательности есть произведение ограниченной функции на постоянную

Из последовательности можно выбрать подпоследовательность сходящуюся равномерно в и из числовой последовательности — подпоследовательность имеющую предел конечный или бесконечный. Итак, последовательность сходится в равномерно.

Если последовательность имеет только конечное число функций, не имеющих ни нулей, ни полюсов в то допустим, что она содержит подпоследовательность не имеющую полюсов в но имеющую хотя бы один нуль. Тогда — полином, очевидно, ограниченный, потому что содержит не более К множителей, не превосходящих по модулю Можно написать:

функция ограничена в ; мы знаем, что в случае, когда имеет хотя бы один нуль в число ограничено сверху. Как выше получается подпоследовательность, сходящаяся к пределу в

Подобный результат получаем в случае, когда можно выбрать подпоследовательность образованную из функций, не имеющих нулей в : достаточно заменить на

Наконец, если нельзя найти подпоследовательность, удовлетворяющую хотя одной из предыдущих гипотез, то всякая подпоследовательность образована из функций, имеющих каждая хотя бы один нуль и хотя бы один полюс в . В этом случае числа заключены между двумя фиксированными положительными числами, то же само будет для и для следовательно, можно написать:

и

Так как заключено между двумя положительными числами, то можно выбрать из последовательности подпоследовательность сходящуюся равномерно к функции которая не есть ни тождественный нуль, ни тождественная бесконечность.

Нули и полюсы функции заключены в и число их не может превосходить К. Рациональная функция есть, следовательно, отношение двух ограниченных полиномов и степени, не превосходящей К. Следовательно, можно выбрать из последовательности индексов подпоследовательность такую, что многочлены имеют соответственно пределом многочлены и степени, не выше Кроме того, так как

имеем также:

Я утверждаю, что последовательность сходится равномерно в ; в самом деле, пусть точка внутри которая не является нулем ни функции ни функции тогда сходится равномерно к и произведение сходится к

Если точка нуль функции то она, конечно, не будет нулем функции V, ибо всякий нуль функции есть предел точек и всякий нуль функции V есть предел точек, — эти пределы не могут оба быть равны потому что, если бы соответствующие отношения имели пределом единицу, то не выполнялось бы свойство IV. Итак,

в окрестности последовательность имеет предел отличный от нуля и имеет предел равный нулю в же самое будет для потому что модуль ограничен и сходимость равномерна в Если обращает в нуль функцию V, то рассуждаем подобным же образом, только заменив через

Таким образом последовательность сходится равномерно в окрестности каждой точки внутренней области

Итак, всякая последовательность функций порождает подпоследовательность, сходящуюся равномерно в Последовательность нормальна и функция есть функция исключительная.