§ 75. Обобщения.

Часть результатов § 73 распространяется на семейства функций, для которых значения суть соответственно порядка исключая не более иррегулярных корней. Ход доказательства не совсем же, потому что функции последовательности здесь не являются голоморфными в области

Получив последовательность иррегулярные полюсы которой сгущаются около точек мы поступаем с как с рассматривая на этот раз иррегулярные нули, затем иррегулярные корни уравнения Последняя полученная таким образом последовательность имеет все свои иррегулярные полюса вблизи точек все свои иррегулярные нули вблизи точек и все иррегулярные корни уравнения вблизи точек эта последовательность образует нормальное семейство в области, получаемой выбрасыванием из области кругов, окружающих эти точки и из нее можно извлечь последовательность (2), которая сходится равномерно, вне этих точек. Но невозможно уменьшать, как в предыдущем, число этих точек по причинам наличия регулярных полюсов, число которых не ограничено и положение которых неизвестно. Следовательно, мы можем утверждать только, что семейство порядка не выше

Семейство голоморфных функций, не имеющих нулей, есть нормальное семейство, если каждая функция принимает менее раз значение единица. Можно высказать аналогичное предложение для мероморфных функций, для которых значения имеют порядки

Если семейство мероморфных функций имеет исключительные значения порядков кроме, быть может, не более иррегулярных корней уравнения где общий делитель удовлетворяющий неравенству:

то семейство нормально.

Положим, в самом деле, выбирая проттззолыю значение Функция однозначна, мероморфна и значения и суть для этой функции соответственно порядков: Пусть корни -й степени из единицы; корень уравнения есть корень той же самой кратности для уравнения следовательно, имеется значение такое, что все корни уравнения регулярны, иначе имело бы иррегулярных нулей. Положим

семейство есть нормальное семейство, следовательно, таково же и семейство