§ 15. Теорема Стилтьеса.

Вот специальная теорема об аналитических функциях. Диагональным процессом мы получили в § 13 последовательность, сходящуюся в открытой области Для аналитических функций эти рассуждения не являются необходимыми, так как последовательность ограниченных в своей совокупности функций которая сходится равномерно в сходится и во всей области

В самом деле, пусть функции последовательности голоморфны в и ограничены в своей совокупности в замкнутой области заключенной полностью внутри Я предполагаю, что последовательность эта равномерно сходится в внутренней для и докажу, что она сходится равномерно в достаточно показать, что, задав число можно определить такое, что

каково бы ни было если только В противном случае существует число и три бесконечные последовательности:

такие, что

все принадлежат

Рассмотрим функцию

голоморфную в функции:

голоморфные в будут ограничены в потому что ограничены кроме имеем

Из этой последовательности я могу извлечь подпоследовательность:

которая сходится равномерно в предел в силу теоремы Вейер штрасса есть голоморфная функция Она равна нулю в потому что значения стремятся к нулю в каждой точке области следовательно, она равна нулю всюду в Итак, я могу найти числа такие, что во всей области это противоречит предположению.

Мы доказали, таким образом, теорему Стилтьеса.

Дана последовательность функций, голоморфных и ограниченных в своей совокупности внутри области Если эта последовательность сходится равномерно в некоторой внутренней области, то она сходится равномерно всюду внутри