§ 122. Множество иррегулярных точек.

Изучим теперь структуру множества точек, в которых семейство функций двух переменных, голоморфных в области ненормально. Это множество, очевидно, замкнуто. Жюлиа показал, что оно совершенно и не содержит внутри ни одной изолированной части.

Докажем сначала, что не содержит изолированных точек. Допустим, что существует такая точка, которую мы примем за начало координат О Мы можем найти настолько малые, что гиперцилиндр

содержит только одну точку О из множества Так как семейства ненормально в О, то существует бесконечная последовательность функций этого семейства, которая не будет нормальна в О и, следовательно, никакая подпоследовательность которой не сходится равномерно в гиперцилиндре Можно выбрать из этой бесконечной последовательности подпоследовательность:

которая сходится равномерно во всякой точке из кроме точки О.. В частности, последовательность сходится равномерно на поверхности

Допустим, что предельная функция не будет тождественной бесконечностью, и возьмем в комплексных плоскостях окружности представляемые предыдущими уравнениями. Имеем для достаточна большого и любого целого

где выбрано произвольно. Равенство

показывает, что если предположить

Из этого неравенства следует, что последовательность сходится в точке О равномерно, что противоречит гипотезе. Следовательно, функции имеют пределом бесконечность.

Я утверждаю, что, каково бы ни было постоянное а, функции

имеют, начиная с некоторого индекса, не менее одного нуля во всяком гиперцилиндре В противном случае существует гиперцилиндр в котором бесконечное множество функций а не обращаются в нуль. Так как соответствующая последовательность голоморфных функций

сходится равномерно к нулю на поверхности сходимость будет равномерна в гиперцилиндре и последовательность а около точки О сходится к бесконечности равномерно. Таким образом из последовательности можно выбрать последовательность, сходящуюся в равномерно, а это противоречит предположению.

Итак, выбрасывая в случае надобности несколько функций в начале последовательности, мы можем предполагать, что каждая из функций последовательности имеет в не менее одного нуля. Пусть есть нуль функции Уравнение

определяет как функцию при заданных начальных значениях

Эта функция

имеет в области только алгебраические критические точки и может быть продолжена во всем круге Я утверждаю, что когда остается внутри я остается внутри по крайней мере начиная с некоторого значения В самом деле, в противном случае существует бесконечное множество значений 2, образующих последовательность такую, что все соответствующие точки будут на окружности Можно выбрать подпоследовательность имеющую пределом точку так, что соответствующая последовательность имеет пределом точку лричем

В этой точке последовательность сходится равномерно к бесконечности. Но вблизи этой точки имеется бесконечное множество «нулей функций это суть точки Итак, получаем противоречие, и точки остаются в круге

Пусть теперь точка круга отличная от начала: можно выбрать бесконечную последовательность соответствующих точек которые имеют пределом точку круга Около этой точки последовательность имеет бесконечное множество нулей, следовательно, она не может сходиться равномерно к бесконечности. Но эта

точка отлична от точки О, потому что не есть нуль. Итак, имеется точка отличная от начала, в которой последовательность не будет нормальна, что противоречит предположению.

Следовательно, точка О не будет изолированной.