§ 30. Фундаментальные подстановки.

Треугольник (7) и симметричный ему относительно стороны треугольник образует четырехугольник который мы назовем фундаментальным четырехугольником.

Возьмем треугольник симметричный треугольнику (7) относительно стороны потом симметричный новому треугольнику относительно стороны симметричной для Треугольники (72) образуют четырехугольник который может быть получен из линейным преобразованием, эквивалентным произведению двух последних инверсий. Это преобразование переводит в Также получается линейное преобразование которое переводит в и четырехугольник в четырехугольник смежный с по Четное число инверсий, произведенных путем, указанным в предыдущем параграфе, приводит к четырехугольнику образованному из двух последних треугольников, смежных по стороне, гомологичной Существует линейное преобразование которое переводит Преобразования образуют группу: в самом деле, пусть два преобразования, переводящие четырехугольник соответственно в Преобразование примененное к дает четырехугольник этот четырехугольник получается при помощи четного числа инверсий,

следовательно, он принадлежит множеству рассматриваемых четырехугольников, и мы имеем:

где означает линейное преобразование, которое переводит Я утверждаю, что эта группа может быть построена помощью двух фундаментальных подстановок т. е. что всякая подстановка группы получается как произведение некоторого числа подстановок В самом деле, теорема верна для четырехугольников полученных из только одной подстановкой или допустим, что она доказана для четырехугольника полученного из помощью инверсий рассматриваемого типа, и докажем ее для смежного четырехугольника Пусть 5 есть подстановка, преобразующая по предположению 5 есть произведение подстановок пусть — подстановка, преобразующая Преобразование переводит в четырехугольник или смежный с В самом деле, подстановка 2 переводит одну в другую стороны четырехугольника гомологичные, например, стороне поэтому подстановка переводит одну в другую стороны и четырехугольника следовательно это будет или что доказывает предложение, потому что 52 переводит