§ 87. Теорема Бляшке.

Предыдущее доказательство основывается на невозможности существования функции, голоморфной в области не равной тождественно нулю и обращающейся в нуль на бесконечном множестве точек, заключенных полностью внутри Чтобы распространить предыдущую теорему на случай, где точки сходимости имеют все свои предельные точки на границе области, мы приходим к изучению условий существования голоморфной функции, обращающейся в нуль в точках такого множества, но неравной нулю тождественно. Вопрос был изучен Бляшке в случае, когда функции ограничены; теорема остается верной, если сходимость точек к точке на границе не слишком быстра.

Воспользовавшись конформным преобразованием, мы можем предполагать, что область есть круг радиус которого равен единице.

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы существовала голоморфная функция, ограниченная в круге и обращающаяся в нуль на бесконечном множестве точек для которых все предельные точки находятся на окружности, является сходимость произведения

1. Условие необходимо. В самом деле, допустим, что существует функция голоморфная внутри обращающаяся в нуль в точках и не превосходящая ни в одной внутренней точке этого круга некоторого фиксированного числа Разделив в случае надобности на некоторую степень мы можем считать, что функция не обращается в нуль в центре круга.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

которая голоморфна в Каждый множитель знаменателя имеет модуль равный единице на окружности следовательно, существует концентрическая окружность, внутренняя для первой, с радиусом сколь угодно близким к единице, на которой модуль знаменателя больше достаточно взять окружность настолько близкую к чтобы внутри нее содержалось кругов:

На этой окружности, а следовательно, и внутри голоморфная функция меньше по модулю следовательно, она не может превзойти ни в одной точке внутри Тогда, каково бы ни было имеем во всякой точке круга

в частности, сделав и положив будем иметь:

где произведение убывает, когда растет, но остается больше некоторого положительного числа, потому что не равно нулю; следовательно, оно имеет положительный предел, т. е. произведение сходится; то же самое будет для ряда, общий член которого и обратно. В силу изложенного, данное в предыдущем параграфе доказательство может быть повторено для случая, когда расходится, а функции ограничены. Так получается теорема Бляшке:

Если последовательность функций, голоморфных и ограниченных в круге сходится в бесконечном множестве точек взятых внутри круга, так что произведение расходится, то эта последовательность сходится внутри круга равномерно.

Если последовательность точек сходимости имеет предельную точку внутри круга, то произведение, очевидно, расходится и мы возвращаемся к теореме § 86 для случая ограниченных функций. Если все предельные точки находятся на окружности, то достаточно, чтобы ряд был расходящимся, т. е. чтобы не слишком быстро приближался к единице.

2. Условие достаточно. Допустим что сходится и рассмотрим бесконечное произведение:

где суть аффиксы точек внешних кругу. Произведение сходится равномерно внутри круга и представляет голоморфную функцию, если только ряд сходится. В самом деле, общий член произведения перепишется:

и произведение равномерно сходится одновременно с рядом

общий член которого меньше если остается внутри окружности Вообще произведение сходится равномерно во всякой области, не содержащей ни внутри, ни на границе ни одной из точек или предельных для них.

Примем за точку симметричную для относительно круга, и положим тогда получим:

первый множитель для превосходящих остается заключенным между двумя и тремя. Ряд сходится так же, как ряд а этот последний ряд сходится одновременно с произведением

Полученная функция:

ограничена во всем круге В самом деле, точки взаимно симметричны относительно окружности, дробь имеет на окружности постоянный модуль а внутри круга модуль ее меньше следовательно, во всякой точке круга

Произведение сходится, кроме того, во всякой, не являющейся предельной для точке окружности, и модуль его равен