§ 23. Семейство гармонических функций. Теорема Харнака.

Предыдущие теоремы, доказанные для семейств функций, голоморфных в некоторой области, приводят к аналогичным предложениям о семействах гармонических функций.

Рассмотрим, например, семейство функций гармонических внутри области и не принимающих значений, - заключенных внутри некоторого интервала. В частности, можно предполагать значения а ограниченными сверху или снизу. Пусть сопряженная гармоническая функция, определенная с точностью до постоянного; полежим

Функции не принимают значений, заключенных в некоторой части плоскости следовательно, они образуют нормальное семейство. Всякая бесконечная последовательность функций порождает последовательность, сходящуюся равномерно к функции, голоморфной в или к бесконечности. Соответствующая последовательность из функций и сходится равномерно к функции, гармонической в или бесконечно и равномерно растет. В последнем случае можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к или Во всех случаих бесконечная последовательность функций и порождает подпоследовательность, сходящуюся равномерно.

Из этого результата легко вывести теорему Харнака о монотонных последовательностях гармонических функций. В самом деле, рассмотрим бесконечную последовательность функций

голоморфных в области и допустим, что во всякой точке, внутренней для имеем:

Пусть область, заключенная строго внутри минимум функции тогда будем иметь:

Функции образуют нормальное семейство. Сейчас же заключаем, что последовательность функций ил сходится равномерно к гармонической функции или к бесконечности. Если в какой-нибудь точке, внутренней области последовательность ограничена, она всюду внутри сходится равномерно к гармонической функции: это и есть теорема Харнака.