§ 3. Внутренние и внешние точки. Границы. Области.

Точка называется внутренней точкой множества если существует круг с центром в точке и настолько малым радиусом, что все точки круга принадлежат множеству

Точка есть внешняя точка множества если существует круг с центром в точке такой, что ни одна точка этого круга не принадлежит множеству

Точка есть граничная точка множества есть сколь угодно малый круг с центром в точке содержит внутри точки множества и точки, не принадлежащие

Всякая точка плоскости будет либо внешней точкой либо внутренней точкой либо граничной точкой множества

Областью называется множество, все точки которого — внутренние точки. Например, множество точек, принадлежащих кругу и не принадлежащих самой окружности, есть область.

Область называется ограниченной в том случае, когда множество ее точек есть множество ограниченное.

Если множество не содержит всех точек плоскости, то оно имеет граничные точки Чтобы в этом убедиться, достаточно соединить прямолинейным отрезком точку области с точкой, не принадлежащей области: легко видеть, что на этом отрезке найдется не менее одной граничной точчи. Граничные точки области образуют множество которое называется границей этой области.

Множество называется более точно открытой областью; жество, образованное присоединением к множеству точек множества есть множество замкнутое, это множество называется замкнутой областью. Всякий раз, когда мы говорим область, не прибавляя, что она замкнута, речь идет об открытой области.

Область заключена полностью внутри другой области если все точки области и все точки ее границы суть внутренние точки области

Область называется связной, когда две любые точки этой области могут быть соединены непрерывной линией, все точки которой суть внутренние точки области.

Область будет односвязной, если любые два пути, расположенные внутри области и соединяющие точки можно, все время оставаясь полностью внутри, превратить один в другой непрерывной деформацией. Всякая замкнутая кривая, взятая внутри такой области, может быть непрерывной деформацией стячута в точку. Эта деформация в плоскости комплексного переменного может приводить к бесконечно удаленной точке: например, точки внешние какому-нибудь кругу образуют односвязную область. Можно уничтожить всякое различие между бесконечно удаленной точкой и любой другой точкой плоскости помощью сферы

Римана: применив инверсию плоскости по отношению полюса вне плоскости, можно получить, таким образом, сферу, на которой точка или северный полюс, соответствует бесконечно удаленной точке плоскости. Множество точек, внешних кругу, переходят тогда в сферический сегмент, содержащий точку

Если точка А границы области есть изолированная по отношению к то все точки, близкие к суть внутренние точки.

В самом деле, предположим, что внутри круга, не содержащего ни одной точки границы отличной от с центром в точке Лис произвольно малым радиусом, можно найти точку В, внешнюю области В том же самом круге в силу определения границы существует точка С, внутренняя для Мы можем в случае необходимости заменить точку С близкой так, чтобы отрезок прямой не проходил через точку Этот отрезок содержит точку границы отличную от и лежащую внутри круга, что противоречит условию.

Из предыдущего замечания получаем, что если граница односвязной области содержит более одной точки, то она не имеет ни одной изолированной точки и, следовательно, граница содержйт бесконечное множество точек.

В самом деле, пусть есть изолированная граничная точка, тогда существует маленький круг с центром в точке покрывающий эту единственную граничную точку, окружность которого находится полностью внутри эту линию нельзя превратить в точку непрерывным преобразованием, не выходя из области, потому что внутри имеется точка границы, а вне имеется другая точка границы: итак, эта область не будет односвязной; это свойство мы используем в дальнейшем.

Для любой точки, внутренней к ограниченной области можно найти область содержащую точку О, заключенную полностью внутри и ограниченную конечным числом спрямляемых дуг, все точки которых удалены от границы области на расстояния, меньшие любого заданного числа

В самом деле, разобьем плоскости на квадраты со сторонами, меньшими и настолько малыми, что квадрат, содержащий О, заключен полностью внутри Покроем штриховкой этот квадрат, а также все смежные с ним квадраты, которые заключены полностью внутри области Продолжаем так шаг за шагом штриховать все квадраты, которые содержатся строго внутри и имеют стороны, общие с квадратами, уже заштрихованными. Все заштрихованные таким образом квадраты, число которых, конечно, образуют связную область содержащую точку О и ограниченную конечным числом ломаных, образованных из сторон квадратов. Пусть одна из этих сторон. Один из квадратов, прилежащих к содержит граничные точки области в противном случае оба квадрата должны быть заштрихованы, и тогда не будет частью границы Итак, все точки находятся от точек границы области на расстоянии, меньшем

Доказательство приложимо и в том случае, когда не ограничена, но в этом случае ломаных линий не будет обязательно конечное число.