§ 72. Случай, когда предельные функции конечны.

Когда для нормального семейства голоморфных функций бесконечность не является предельной функцией в области фуйкции имеют модули, ограниченные в своей совокупности во всякой области внутренней

Это предложение, очевидно, не будет точным, если речь идет о мероморфных функциях, но можно получить соответствующее предложение, изолируя посредством маленьких кругов полюсы каждой функции.

Рассмотрим квазинормальное семейство функций, мероморфных в области для которого ни одна предельная функция не есть тождественная бесконечность. Каждой областц внутри и каждому числу можно отнести число такое, что

внутри области, полученной выбрасыванием из точек, внутренних кругам радиуса 5 и имеющих центрами полюсы функций содержащиеся в

В самом деле, в противном случае существовали бы последовательность функций семейства и последовательность точек из такие, что

при эчом точки лежать вне кругов, описанных вокруг полюсов функций радиусами о. Мы можем выбрать из предложенной последовательности новую подпоследовательность, которую мы также будем называть

и которая вне конечного числа иррегулярных точек сходится равномерно к функции отличной от тождественной бесконечности в области содержащей и содержащейся в

Пусть А — иррегулярная точка; примем ее за центр круга радиуса начиная с некоторого номера, все функции последовательности имеют полюс внутри этого круга. Пусть также полюс функции который не является иррегулярной точкой; примем его за центр круга радиуса Справедливы те же самые заключения, потому что функции остаются голоморфными и сходятся равномерно в этом круге или в круге, меньшем, и предел не будет тождественным нулем.

С другой стороны, начиная с некоторого номера, функции не имеют полюсов внутри и вне этих кругов, потому что все точки, предельные для полюсов функций внутри области могут быть только полюсом или иррегулярной точкой.

Функции голоморфные в области, полученной из выбрасыванием кругов сходятся в этой области равномерно. Их предел есть голоморфная функция, следовательно, она ограничена по модулю в этой области. Пусть ее верхняя граница; начиная с некоторого номера имеем

следовательно,

Проведем круги радиусом 8, имеющие центрами полюсы Начиная с некоторого номера, каждый из кругов заключен внутри одного из этих кругов. Начиная с этого номера, имеем

в области из которой выброшены круги что противоречит предположению, что в точке этой области имеем

Итак, предложение доказано.