ГЛАВА V. СЕМЕЙСТВО МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА

§ 61. Равномерная сходимость.

Функции, голоморфные в данной области, допускают исключительное значение, безконечность. Этого не будет для мероморфных функций, и изучение семейств, образованных этими последними функциями, менее просто, чем изучение семейств голоморфных функций.

Определим сперва равномерную сходимость. Говорят, что бесконечная последовательность функций:

мероморфных в области сходится равномерно в этой области к функции если каждая точка из есть центр круга, обладающего следующими свойствами: всякому числу соответствует целое число такое, что когда больше внутри круга, имеем:

если конечно,

если бесконечно.

Предельная функция есть, таким образом, мероморфная функция, потому что она мероморфна вблизи каждой точки внутри области. Она может быть также постоянной, конечной или бесконечной. Свойство равномерной сходимости сохраняется, если над функциями последовательности выполнить одно и то же линейное преобразование с постоянными коэфициентами. Такое преобразование состоит из элементарных преобразований, в которых заменяется либо через либо через или через где постоянные. Эти элементарные преобразования, очевидно, сохраняют равномерность сходимости.