§ 65. Число нулей функций нормального семейства.
Если нормальное семейство голоморфных функций не имеет никакой предельной функции, равной постоянному а, то число нулей функции 
ограничено для множества функций семейства во всякой внутренней области. Это свойство верно и для семейства мероморфных функций. Так как воспользовавшись линейным преобразованием, можно предполагать, что значение а равно бесконечности, то докажем, что
Если семейство мероморфных функций, нормальное в области 
имеет предельную функцию, не равную тождественно бесконечности,
то число полюсов внутри 
для всех функций семейства ограничено.
Допустим, что это число не ограничено; тогда существует область 
внутри 
и последовательность функций: 
семейства такие, что 
имеет внутри 
не менее 
полюсов. Так как семейство нормально, то из этой последовательности можно выбрать новую последовательность 
равномерно сходящуюся к мероморфной функции ибо тождественная бесконечность исключена. Функция 
имеет конечное число полюсов 
внутри и на границе области 
Каждая из 
может быть окружена кругом 
в котором, начиная с некоторого значения 
имеем
Функции 
и 
голоморфны в этом круге, и так как 
не равна тождественно нулю, функция 
начиная с некоторого номера, имеет в круге число нулей, равное порядку полюса 
Кроме того, 
начиная с некоторого индекса, не может иметь полюсов вне круга 
потому что вследствие равномерной сходимости точка предельная для полюсов функции 
может быть только полюсом функции 
Число полюсов 
внутри 
остается ограниченным, что противоречит допущению.
Эта теорема применима, в частности, в случае, если модули значений функций семейства во внутренней точке остаются ограниченными. Если, кроме того, функции голоморфны, то мы знаем, что их модули ограничены в каждой внутренней области.
