§ 94. Сходящиеся ряды голоморфных функций.

Пусть последовательность функций, голоморфных в области и сходящихся в каждой точке области к конечному пределу Мы видели, что в этом случае множество точек, где семейство не будет нормально, есть совершенное неплотное множество, непрерывное и связное с границей области.

Следовательно, во всякой области существует другая, в которой ряд сходится равномерно, и где предельная функция голоморфна. На множестве функция обладает характеристическим свойством функций, предельных для непрерывных функций: она точечно разрывна на этом множестве и на всяком совершенном множестве, содержащемся в В областях, смежных множеству которых может быть счетное множество, функция аналитична, но определенные таким образом аналитические функции могут быть все различны.

Пусть есть точка множества Е: сходимость не может быть в этой точке равномерной, потому что семейство не нормально в ней. Тогда уравнения

имеют бесконечное множество корней вблизи кроме, быть может, одного исключительного значения. Можно даже прибавить, что число корней каждого уравнения, находящихся вблизи не может оставаться ограниченным для всех функций Если бы оно оставалось ограниченным для подпоследовательности то последняя сходилась бы в точке равномерно и предельная функция была бы в этой точке голоморфна.

Можно постоянные заменить функциями, голоморфными около точки Не может существовать двух функций голоморфных около и таких, чтобы уравнения:

имели бы ограниченное число корней, близких к Иначе функции

были бы голоморфны в достаточно малом кольце, окружающем [или в круге с центром в если не нуль], и сходимость функций а следовательно, и функций была бы равномерной в этом кольце; следовательно, точка была бы изолированной, что невозможно.