§ 50. Отображение внутренности области на круг.

Конформно отобразить область плоскости на область плоскости это значит найти функцию голоморфную внутри такую, что каждой точке внутри соответствует точка внутри и обратно. Следовательно, голоморфна и однолистна в и обратная функция голоморфна и однолистна в

Ни одна из двух производных обратных одна другой, не может обращаться в нуль внутри или внутри В самом деле, допустим, например, что равно нулю. Уравнение

будет иметь для достаточно малого не менее двух корней вблизи Следовательно, точке отвечают две точки внутри

Пусь две соответствующие точки: напомним, что угол между двумя кривыми, проходящими через равен по величине и по направлению отсчета угла между соответствующими кривыми,

проходящими через в самом деле, если предположить точки помещенными на одну и ту же плоскость, то найдем, что направления касательных к кривым, проходящим через получаются из касательных к кривым, проходящим через поворотом на угол, равный аргумент

В дальнейшем мы будем заниматься односвязными областями.

Чтобы отобразить область на область достаточно произвести отображения каждой из областей на определенный круг, который будет служить промежуточной областью. В дальнейшем мы будем предполагать известным классический результат о конформном отображении областей, ограниченных одной или несколькими аналитическими дугами