§ 107. Неподвижные отталкивающие точки.

Рассмотрим теперь неподвижные отталкивающие точки ; если они первого порядка, то имеем;

в круге с центром С и достаточно малым радиусом имеем

Неравенство

влечет

следовательно, точки находившиеся сперва внутри круга удаляются от С и выходят из круга при достаточно большом

Если С есть точка порядка то так же определяется отталкивающий цикл.

Так как существуют циклы сколь угодно высокого порядка и числа притягивающих и индиферентных циклов ограничено, то очевидно, что число двойных отталкивающих точек неограниченно.

Кроме того, существует не менее одной неподвижной точки первого порядка, которая будет индиферентной или отталкивающей. В самом деле, если уравнение:

имеет кратный корень то имеем:

и это есть индиферентная точка. Иначе, это уравнение имеет различных корней, которые всегда можно предполагать находящимися на конечном расстоянии. Рациональная дробь имеет простых полюсов на конечном расстоянии, и для каждого полюса вычет будет:

В бесконечности имеет конечное значение, иначе бесконечно удаленная точка была бы неподвижной; следовательно, в окрестности бесконечно удаленной точки имеем:

следовательно, вычет в бесконечности есть и так как сумма вычетов есть нуль, то

Сделаем преобразование переводящее круг в полуплоскость переменного расположенную вправо от прямой все точки которой имеют абсциссы равные у. Равенство

или

показывает, что центр тяжести точек находится слева от следовательно, существует по крайней мере одна из этих точек слева от и для этой точки будет больше единицы.

В отталкивающей точке последовательность не может быть нормальна; действительно, если эта точка первого порядка, то имеем:

бесконечно возрастает и остается равной последовательность не может быть нормальной в

Если принадлежит циклу порядка то с помощью тех же вычислений видно, что последовательность не может быть нормальной.

В точке С, предельной для отталкивающих точек последовательность не будет, очевидно, нормальной.