ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 80. Определение исключительной функции.

Пусть -мероморфная функция и семейство функций, определенных в круге равенствами:

Это семейство, как мы видели, не может быть нормально в круге. Следовательно, в круге есть по крайней мере одна точка, в которой оно не является нормальным. Если эта точка отлична от начала, то существует прямая (7), полученная соединением этой точки с началом и такая, что во всяком малом угле, для которого прямая является внутренней биссектрисой, функция принимает бесконечное число раз всякое значение кроме, быть может, двух.

Но это заключение неверно, если единственная иррегулярная точка есть начало, т. е. если семейство квази-нормально с единственной иррегулярной точкой О. В этом случае семейство нормально в кольце :

Обратно, если семейство нормально в то оно квази-нормально для с единственной иррегулярной точкой О. В самом деле, семейство нормально во всяком кольце

где - целое положительное, потому что функция принимает в этом кольце те же самые значения, что функция в

Когда есть голоморфная функция, семейство может быть квази нормальным с единственной иррегулярной точкой О только в том случае, если бесконечно возрастает в а это невозможно, если не есть полином. Так как семейство не может быть нормально, то имеются иррегулярные точки, отличные от точки О. То же самое для мероморфной функции, допускающей одно конечное исключительное значение потому что подстановка а вместо приводит к предыдущему случаю. Наконец, мы видели, что то же самое имеет место, когда допускает асимптотическое значение, потому что последовательность необходимо сходится к этому значению, если она нормальна в

Для мероморфной функции, не имеющей асимптотического значения, этот случай может встретиться. Пусть дана, например, функция:

Образуя последовательность имеем:

так как множитель при есть произведение, равномерно сходящееся внутри последовательность сходится также равномерно. Для этой функции нет прямой Мы говорим, что эта есть функция исключительная (7).

Если последовательность нормальна в то можно спросить себя, нельзя ли найти последовательность чисел:

расположенных по возрастающим модулям, имеющих пределом бесконечность и таких, что семейство не будет нормально в Так получаем только видимое обобщение. В самом деле, тогда имели бы точку из в которой семейство не было бы нормальным. В окрестности этой точки функции принимали бы в своей совокупности бесконечное число раз все значения кроме самое большее двух. Вблизи точек с аффиксами функция принимала бы все значения кроме самое большее двух. Точка. содержится в кольце определенном неравенством:

и последовательность:

выбранная из последовательности не может быть нормальна в замкнутой области Итак, в этом случае семейство не было бы нормальным.

Так же невозможна замена разрывной последовательности последовательностью непрерывной где точка пробегает от точки с аффиксом единица до бесконечности, когда действительное переменное изменяется от значения единица до бесконечности. Рассмотрение семейства дает нам только видимое обобщение, потому что, как мы видели, это семейство нормально или нет, в зависимости от того, что не существует или существует последовательность для которой семейство не будет нормальным семейством.

Короче, чтобы функция была исключительной необходимо и достаточно, чтобы семейство было нормально в Конечно, можно заменить число два любым числом, большим единицы, например

Есть функция исключительная то же самое будет для всех функций, получающихся из линейным преобразованием. В частности функции исключительные одновременно. Заметим, что уравнение каково бы ни было а, допускает бесконечное множество решений, иначе имела бы исключительное значение.

§ 81. Условия существования.

Рассмотрим уравнения:

где четыре различных числа; обозначим через корни этих уравнений (индексы принимают все целые значения).

Чтобы была исключительной функцией, необходимо и достаточно, чтобы ни одно предельное значение отношения двух каких-нибудь корней не было равно единице.

Условие необходимо: в самом деле, если одно предельное значение равно единице, то имеется бесконечное множество отношений соответствующих корней двух определенных уравнений например, двух первых. Пусть — две последовательности такие, что

Точка принадлежит кольцу рассмотрим последовательность функций Числасуть корни уравнения содержащиеся в Пусть предельное значение этих корней; можно выбрать из последовательности подпоследовательность, для которой соответствующие точки имеют пределом Мы можем обозначать через X индекс этой последозательности. Возьмем настолько большим, чтобы

тогда, так как имеем:

и последовательность имеет нули, предел которых 20. Итак, эта последовательность не может быть нормальна в

Условие достаточно. Допустим, что оно выполняется; тогда в окрестности каждой точки кольца последовательность имеет исключительными значениями не менее трех из чисел Итак, она нормальна во всякой точке внутренней для следовательно, также во всей замкнутой области

Предыдущие условия вводят четыре последовательности значений 2, дающих фиксированные значения. Можно также сделать, чтобы входило только три последовательности, соответствующие трем числам Мы вскоре увидим, что для каждого значения а число корней уравнения содержащихся в ограничено, каково бы ни было

Чтобы была исключительной функцией, необходимо и достаточно, чтобы число точек ссодержащихся в каждом кольце было ограничено и чтобы ни одно предельное значение отношения двух из этих корней не было равно единице.

Мы видели, Что второе условие необходимо, и скоро увидим, что первое также необходимо.

Эти условия достаточны. Действительно, если первое выполнено, то семейство есть квази-нормальное семейство в Но оно не может иметь иррегулярной точки, потому что около каждой точки из последовательность имеет среди чисел с по крайней мере два исключительных значения, а мы знаем, что вблизи иррегулярной точки может быть только одно исключительное значение.