§ 113. Примеры множества g.

Какие различные виды может представлять структура множества

Прежде всего, если содержит внутреннюю точку то все точки плоскости принадлежат В самом деле, содержит все точки достаточно малого круга с центром последующие для точек из суть точки множества и покрывают всю плоскость кроме, быть может, двух исключительных тзчек, но так как замкнуто, этот случай не может представиться. Итак, содержит все точки плоскости.

Вот пример такого случая, данный Латте. Пусть функции Вейерштрасса; есть рациональная функция от

Рассмотрим последовательность итераций для

пусть С — какая-нибудь точка плоскости, корень уравнения равенство и устанавливает соответствие между небольшим кругом с центром 5 в плоскости 2 и областью плоскости и, окружающей точку имеем:

функция принимает в те же значения, что в иначе говоря, те же значения, что в области полученной из помощью преобразования подобия в отношении Эта область покрывает некоторое число параллелограммов периодов и растет неограниченно вместе следовательно, принимает в всякое значение а число раз, которое неограниченно растет вместе с Следовательно, последовательность не будет нормальной, потому что если подпоследовательность сходился равномерно в к мероморфной функции то уравнение начиная с некоторого индекса, имеет то же конечное число корней, что уравнение в то время как это число неограниченно растет вместе с

В предыдущем примере видно, что не существует ни одного притягивающего цикла.

Если не содержит всех точек плоскости, то это множество не имеет ни одной внутренней точки. Множество тогда может быть совершенным непрерывным множеством или совершенным всюду разрывным или совершенным множеством, имеющим в окрестности каждой точки непрерывную часть и разрывную часть. Эти три случая действительно могут представиться; первый соответствует, например, функции