§ 23. Замощение фундаментального круга.

Зададимся целью вывести из треугольника или замощение внутренности фундаментального круга

Возьмем треугольники, симметричные последовательно относительно сторон мы получим треугольники (7), Повторим эту операцию относительно свободных сторон новых треугольников, т. е. относительно сторон, которые не являются общими с сторонами: например, возьмем симметричные для относительно сторон или этого треугольника и т. д.

Каждая сторона является дугой окружности, ортогональной к фундаментальной окружности потому что она получается из окружности, ортогональной к помощью инверсии относительно окружности, ортогональной к Все полученные треугольники содержатся внутри потому что находится внутри и каждое преобразование переводит внутренность во внутренность же; все эти треугольники имеют те же углы и треугольник Построение этих треугольников можно продолжать неограниченно, потому что ни одна из получаемых сторон не будет дугой окружности

Рассмотрим детально случай, когда углы а, [5, у даны в форме

где целые положительные числа, удовлетворяющие неравенству:

чтобы выполнялось неравенство

Я утверждаю, что указанным выше путем получим замощение внутренности с помощью бесконечного множества треугольников. Каждая точка, внутренняя либо будет внутри единственного треугольника, либо будет общей точкой периферии нескольких треугольников. Никакие два из построенных треугольников не могут находить друг на друга.

Возьмем и построим треугольник симметричный треугольнику относительно получим треугольник сторона которого будет общей с Возьмем телерь треугольник, симметричный треугольнику относительно стороны мы получим треугольник или сторона которого является общей с (7); этот треугольник будет расположен по отношению дуги со стороны, противоположной той, где находится (7). Продолжая брать симметричнлй каждому

треугольнику относительно свободной стороны, проходящей через получим последовательность треугольников Я утверждаю, что последний совпадает с Чтобы проще убедиться в этом, достаточно допустить, что стороны и прямолинейны, что всегда возможно получить помощью инверсии. Тогда все стороны также прямолинейны и получаются помощью симметрии относительно прямых; два последовательно, примененных указанных преобразования эквивалентны повороту на вокруг следовательно, треугольник получается из поворотом на вокруг А: он совпадает с

Будем называть звездой относительно вершины А многоугольник, образованный соединением определенных выше треугольников

Итак, треугольники, которые мы построили около точки не находят один на другой; то же самое получим, если произведем такое же построение около вершин В или не очевидно, однако, что построение указанного выше бесконечного множества треугольников никогда не приведет к треугольнику, налегающему на какой-нибудь из предыдущих. Но мы вскоре увидим, что соединение этих треугольников образует множество точек, представляющих значения аналитической функции, для которой обратная есть функция однозначная: такая область не может перекрываться.

Докажем на основании этого, что всякая предельная точка для вершин треугольников находится на окружности В самом деле, допустим, что существует точка внутри предельная для бесконечной последовательности вершин, например, гомологичных из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность такую, что звезда относительно точки новой последовательности будет иметь предельное положение когда стремится к Для этого достаточно, чтобы каждая вершина звезды имела предельное положение. Все эти предельные точки будут, с другой стороньг, различны, потому что всякий фундаментальный треугольник с вершиной имеет стороны, личные от нуля. Когда достаточно велико, очень близко к тогда будет внутри следовательно, вблизи не будет другой точки, гомологичной кроме потому что две звезды не могут покрывать одна другую.

Итак, всякая предельная точка вершин лежит на окружности каждая вершина принадлежит конечному числу треугольников; можно выбрать бесконечную последовательность треугольников, сходящихся к предельному треугольнику, т. е. такую, что гомологичные вершины треугольников этой последовательности имеют каждая предельное положение. Впрочем, эти предельные точки совпадают с точкой окружности потому что предельный треугольник имеет углы, равные из которых ни один не равен нулю. Короче: всякая бесконечная последовательность треугольников имеет предельными элементами, только точки окружности

Пусть концентрическая окружность внутри Крут будет полностью покрыт конечным числом треугольников нашей сетки. В самом деле, окружность не может пересекать бесконечную последовательность

треугольников, потому что всякий предельный элемент этой бесконечности треугольников должен сводиться к точке окружности Но, с другой стороны, всякая точка окружности принадлежит не менее, чем одному треугольнику, потому что каждая сторона треугольников, которые пересекает окружность в конечном числе, принадлежит двум смежным треугольникам; следовательно, не может быть дыры fde trou) в многоугольнике, образованном их соединением.

Я утверждаю, что всякая точка окружности есть предельная точка для бесконечного множества вершин и, следовательно, для бесконечного множества треугольников; другими словами, вблизи каждой точки имеется бесконечное множество вершин, гомологичных Пусть последовательность точек, внутренних имеющих пределом точку Каждая точка лежит в треугольнике существует бесконечное множество различных треугольников (7.), потому что каждый из них, находясь строго внутри может содержать только конечное число точек Выберем бесконечное множество треугольников имеющих единственную предельную точку; эта точка может быть только точкой так как каждый треугольник содержит точку Все вершины выбранных треугольников имеют пределом точку

Предыдущее рассуждение предполагало, что ни один из углов не равен нулю, другими словами, что числа конечны. Но результат остается точным, если некоторые из углов будут нули: только рассуждение должно быть изменено. Например, если все три угла нули, то прежде всего очевидно, что два треугольника не могут находить один на другой, потому что каждый новый треугольник, получаемый построением, указанным в начале этого параграфа, лежит в области, где не находится ни один предыдущий. Все вершины треугольников находятся на окружности ; легко доказать, что множество их предельных точек состоит из всех точек этой окружности, а другие свойства вытекают отсюда.