§ 7. Множества точек в функциональном пространстве.

Предыдущее доказательство можно изменить так, чтобы доказать предложение для пространства счетного множества измерений, пространства, которое будем обозначать символом Точка в этом пространстве определяется счетным множеством комплексных чисел которые служат ее координатами. Бесконечная последовательность точек определяется, таким образом, бесконечной последовательностью счетных множеств чисел, т. е. следующей таблицей (7) с двумя входами:

Я утверждаю, что из этой последовательности бесконечных последовательностей можно выбрать подпоследовательность, которая сходится к предельной точке; иначе говоря, можно, выбрасывая из предыдущей таблицы колонны, получить новую таблицу, содержащую также бесконечное множество колонн, но такую, что в каждой строке элементы будут сходиться к пределу.

В самом деле, я могу сначала образовать бесконечную последовательность индексов:

такую, что последовательности:

сходится к пределу потому что это сводится к выбору из последовательности:

подпоследовательности, которая сходится к Из этой последовательности можно выбрать новую бесконечную подпоследовательность:

такую, что

сходится к пределу Я могу, действительно, всегда предполагать, что последовательность начинается с Из последовательности я выбираю третью подпоследовательность начинающуюся с

и такую, что последовательность:

сходится к пределу

Я могу продолжать бесконечно и образовать бесконечную последовательность бесконечных последовательностей:

таких, что каждая последовательность выбрана из предыдущей и ее первые члены тождественны с первыми членами предыдущей последовательности

Следовательно, существует бесконечная последовательность индексов, принадлежащих всем последовательностям это есть последовательность индексов, находящихся на диагонали

В самом деле, пр есть член последовательности следовательно, он будет во всех последовательностях порядка выше с другой стороны, пр, принадлежа последовательности принадлежит всем последовательностям номера, меньшего Рассмотрим теперь последовательность точек последовательность первых координат этих точек:

сходится к потому что она состоит из членов последовательности:

которая сходится к точно так же последовательность координат:

сходится к потому что она составлена из членов последовательности которая сходится к

Примененный метод построения, который мы будем называть диагональным процессом, позволил нам из данной таблицы с двумя входами выбрать бесконечную последовательность колонн такую, что каждая строчка вновь полученной таблицы сходится к пределу.

Пусть дано положительное число тогда можно для каждой строки номера определить число такое, что для

но числа не будут необходимо ограниченными, так что всегда возможно определить число годное для всех строчек.

Каждой аналитической функции можно отнести точку пространства например точку, координата которой номера есть коэфициент члена номера в разложении функции в ряд Тейлора вблизи начала.

Аналогичное соответствйе можно установить для всякой функции действительного переменного непрерывной в некотором интервале, например в интервале можно взять за координату с номером точки значение образованное коэфициентами при и разложения в ряд Фурье сумма которого, полученная методом среднего арифметического, в силу теоремы Фейера равна функции.

Можно поступать иначе, а именно перенумеровать все значения выраженные конечными десятичными дробями, и принять за координаты точки значения функции, соответствующие этим значениям

В каждом из рассмотренных случаев бесконечная последовательность функций соответствует бесконечной последовательности точек, Можно выбрать подпоследовательность, которая изображает точки, имеющие предельную точку Но так как вообще сходимость не будет равномерной, то мы не знаем, будет ли полученная точка соответствовать функции рассматриваемого пространства.

В дальнейшем мы будем изучать специальные случаи, где сходимость точек к точке равномерная по отношению координат этих точек; иначе говоря, случаи, когда числа ограничены, каково бы ни было

Сделанное замечание объясняет, почему пространство иногда называется функциональным пространством.