§ 57. Прерывное приближение к точкам границы.

Правильные последовательности. Назовем следом точки внутренней для точку границы, наиболее близкую к или одну из точек, для которых расстояние есть минимум, если их несколько, Точка границы есть свой собственный след. Все точки прямолинейного отрезка кроме конца находятся внутри точка 7, следовательно, есть достижимая точка. Когда внутренние точки стремятся к точке границы, их следы стремятся к тем же самым точкам, потому что расстояние стремится к нулю.

Бесконечная последовательность внутренних точек стремящихся к точке границы называется правильной последовательностью, если она удовлетворяет следующему условию:

(а). Для произвольно данных достижимых точек существует число и такое, что точки не будут разделять следов точек если больше

Может существовать единственная исключительная достижимая точка.

Правильная последовательность, содержащая достижимые точки границы, определяется так

Точка границы называется простой, если всякая последовательность, стремящаяся к есть правильная последовательность.

Две правильные последовательности называются эквивалентными, если от соединения их точек в каком-нибудь порядке получают снова правильную последовательность. Следовательно, две какие-нибудь правильные последовательности, относящиеся к простой точке будут эквивалентными.

Вот несколько примеров: рассмотрим область, ограниченную кривой или аналогичной кривой.

Последовательность точек стремящихся к точке (фиг. 17), есть правильная последовательность. В самом деле, следы точек ограничивают небольшие дуги кривой которые стремятся к пределу, сплющиваясь к и оставляют вне всякую достижимую наперед данную точку контура. Напротив, последовательность стремящаяся также к не будет правильная, потому что следы точек разделяют две достижимые точки такие, как Точка

достижимая только одним способом, не будет простой точкой. На второй фигуре последовательность стремящаяся к есть правильная последовательность: здесь есть исключительная достижимая точка которая отделена от всех других. Точка есть простая точка.

Понятие простой точки границы есть непосредственное обобщение понятия точки границы, достижимой одним способом.

Если точки соответствующие последовательности имеют пределом точку окружности то соответствующие следам имеют пределом ту же точку

Допустим, что из последовательности можно выбрать подпоследовательность, имеющую предел, отличный от . Из этой подпоследовательности выбираем третью последовательность, которую будем продолжать обозначать такую, что соответствующие точки имеют пределом

Фиг. 17.

Их следы стремятся к той же самой точке. Пусть расстояние которое стремится к нулю. Круг с центром и радиусом содержит внутри и оставляет вне некоторую фиксированную точку О области. Точки границы находящиеся на окружности этого круга, образуют замкнутое множество и всякая дуга этой окружности, смежная этому множеству, содержащая точку, внутреннюю области ограничена двумя достижимыми точками; эти дуги — трансверсали ломаный путь, взятый внутри и соединяющий необходимо пересекает некоторые из этих дуг в точках, общее число которых конечно и нечетно; следовательно, по крайней мере одна дуга пересекается в нечетном числе точек. Она разделяет область на две области: в одной находится О, в другой той же области находится потому что прямолинейный отрезок не пересекает окружности. Дуги имеют единственную предельную точку следовательно, - одна из двух областей, определенных в круге линией стремится, как мы видели в § 53, к нулю по всем своим измерениям; это будет не та, которая содержит о; значит, это та, которая содержит Итак, эти две последовательности будут иметь один и тот же предел, что противоречит предположению.

Если внутренние или достижимые точки области образуют правильную последовательность, то соответствующие им точки сходятся к единственной точке границы

Действительно, если последовательность имеет две предельные точки то как бы велико ни было , можно найти следы и близкие к Но на каждой из двух дуг окружности существует бесконечное множество точек, соответствующих достижимым точкам. Следовательно, две из этих точек тип, принадлежащие двум различным дугам, будут разделены следами и соответствующие им достижимые точки будут разделены следами что противоречит допущению.

Доказательство не предполагало, что последовательность имеет единственную предельную точку: достаточно, чтобы все предельные точки последовательности были на границе. Следовательно, мы можем расширить понятие правильной последовательности и так называть всякую последовательность все предельные точки которой находятся на границе и которая удовлетворяет условию

Тогда предыдущая теорема приложим а без изменений и обратная ей является очевидной: единственная возможная исключительная точка есть достижимая точка если она существует.

Вот несколько следствий из определений и предыдущих теорем:

1) Существует не менее одной правильной последовательности, стремящейся к данной граничной точке: можно получить одну, сделав конформное отображение и выбирая из некоторой последовательности внутренних точек стремящихся к этой точке, другую последовательность точек, гомологичные которым в плоскости имеют ечинственную предельную точку. Этот результат оправдывает данное определение простой точки и показывает, что всякую не простую точку границы можно рассматривать как образованную с помощью наложения конечного числа или бесконечного множества простых точек. Итак, точка границы будет определена, только если указана правильная последовательность, посредством которой бесконечно приближаются к точке. Мы всегда это будем предполагать.

Двум правильным эквивалентным последовательностям соответствует одна и та же точка окружности (с); в самом деле, их соединение образует правильную последовательность, и соответствующие точки круга имеют лишь одну предельную точку.

2) Если точка границы достижима, то всякая последовательность точек, стремящихся к ней, расположенная на пути, ведущем в эту точку, есть правильная последовательность, так как точки, соответствующие точкам пути, имеют единственную предельную точку. Всякая последовательность, эквивалентная последовательности, расположенной на таком пути, называется стремящейся к достижимой точке, как ведущий к ней путь.

3) Простой точке границе соответствует одна точка окружности потому что две правильные последовательности, соответствующие простой точке, эквивалентны. Однако точке окружности не всегда отвечает определенная точка границы (С): рассмотрим, например, заштрихованные на фиг. 17 области; они имеют предельными точками все точки отрезка но соответствующие им, как легко видеть, применяя рассуждения использованные выше, имеют пределом единственную точку окружности (с); этой последней соответствуют, следовательно, по крайней мере все точки получаемые при приближении стороны прямой.