§ 17. Функции, допускающие исключительные области.

Теорема § 10, доказанная для семейства ограниченных функций, может быть распространена на более общий случай. Если мы рассмотрим, как уже делали раньше, сферу Римана, полученную инверсией плоскости комплексного переменного по отношению точки то гипотеза, что функции семейства ограничены, переходит в предположение, что существует на сфере сегмент, окружающий полюс такой, что точка никогда не попадает в этот сегмент, каково бы ни было в области и какова бы ни была функция семейства. Но вовсе не является необходимым, чтобы сегмент окружал точку теорема остается верной, если вместо сегмента, окружающего точку взять какую-нибудь другую область сферы, такую, что в нее не будет попадать Иначе говоря, условие может быть заменено условием Однако нужно всегда предполагать, что функции голоморфны, т. е. что точка никогда не совпадает с : это не предполагает существования области, окружающей и запрещенной для всех функций.

В самом деле, пусть дано семейство функций голоморфных в области и удовлетворяющих в этой области неравенству:

Я рассмотрю семейство функций:

эти функции голоморфны в области и ограничены по модулю величиной из всякой бесконечной последовательности их можно извлечь подпоследовательность:

которая сходится равномерно. Остается показать, что равномерная сходимость влечет таковую для Возможны только два случая: либо предельная функция есть тождественный нуль, либо она не имеет ни одного нуля внутри в самом деле, если она имеет нули, не обращаясь тождественно в нуль, то для достаточно большого то же будет и для но

не может обратиться в нуль потому, что всегда конечно.

Сначала предположим, что не обращается в нуль внутри тогда в каждой области заключенной полностью внутри, возможно определить положительное число такое, что Последовательность сходится равномерно в и для достаточно большого имеем;

Положим

функция голоморфна в потому что не обращается в нуль. Я утверждаю, что последовательность сходится к равномерно в в самом деле,

Если выбрать настолько большим, чтобы иметь всегда во всей области то будем иметь:

и теорема доказана.

Предположим теперь, что будет тождественный нуль, тогда в силу равномерной сходимости последовательности можно взять настолько большим, что во всей области тогда будем иметь: следовательно, последовательность сходится равномерно в к бесконечности.

Доказанную теорему можно формулировать еще так: Дано семейство функций голоморфных в обмети и удовлетворяющих в этой области неравенству всякая бесконечная последовательность этого семейства порождает последовательность, сходящуюся равномерно внутри к предельной функции, которая может быть тождественно равна бесконечности,