§ 105. Связь между итерацией и функциональными уравнениями.
Покажем на простом примере, как изучение итерации связано с решением функциональных уравнений. Пусть 
неподвижная точка притяжения первого порядка для подстановки 
Мы видели, что можно написать 
в виде:
где 
множитель.
Отсюда выводим, что в достаточно малом круге 
с центром в 
имеем:
и
где 
и 
постоянные. Предположим теперь, что 
Рассмотрим тогда рациональную дробь:
я утверждаю, что последовательность 
сходится равномерно к функции голоморфной в 
Положив 
можно написать:
и сходимость 
сводится к сходимости бесконечного произведения
Это произведение сходится или расходится одновременно с рядом, общий член которого есть
Модуль этого общего члена меньше, чем
а этот ряд из 
сходится, так как
Итак, функции 
голоморфные в 
имеют пределом голоморфную функцию 
Но
и, заставив 
бесконечно возрастать, получаем:
Итак, функция 
удовлетворяет уравнению Шредера 
это есть функция Кёнигса, определенная своим элементам в 
Так как
то имеем:
