§ 91. Обобщения.

Предыдущая теорема сходимости допускает важное обобщение: для утверждения сходимости внутри области достаточно,

чтобы последовательность сходилась на множестве положительной меры точек спрямляемой границы. Итак, докажем следующее предложение:

Пусть дана бесконечная последовательность:

функций, голоморфных и ограниченных внутри области и непрерывных в этой замкнутой области, ограниченной спрямляемой кривой Если последовательность сходится равномерно на множестве точек на мера которого положительна, то последовательность сходится равномерно внутри

Впрочем, можно просто предполагать, что множество расположено на спрямляемой дуге границы

Мы можем предполагать, что область есть круг радиуса единица, ибо к этому всегда можно привести, совершив в случае нужды конформное отображение. В таком отображении множеству точек на положительной меры, соответствует множество точек окружности, тоже положительной меры.

Пусть тогда -множество точек сходимости на окружности и верхний предел модуля функций последовательности, когда Для заданного существует целое число такое, что для неравенство

выполняется во всех точках сходимости, каково бы ни было Для других точек окружности имеем

Обозначим через функцию, гармоническую и регулярную в этом круге, равную во всех точках окружности, где это выражение больше и равную в точках, где это выражение меньше Определенная таким способом на окружности функция непрерывна 2).

Функция не превосходит в каждой точке круга, потому что эта функция на окружности не превосходит Итак, имеем;

Интеграл есть сумма двух интегралов Лебега один взят по измеримому множеству другой по дополнительному множеству Первый меньше, чем

а второй меньше, чем

Итак

и

Оставляем фиксированным; не равно нулю; действительно, имеем:

и

Неравенство

показывает, что последовательность сходится в точке Пусть предельная функция. Из предыдущего неравенства, заставляя бесконечно расти выводим, что

Так как I остается больше фиксированного числа, пока остается в концентрическом круге, внутреннем для первого, то мы видим, что сходимость равномерна внутри области.

Условие, что модули функций ограничены, можно заменить более широким условием, что интеграл:

каково бы ни было , остается меньше фиксированного числа Достаточно заметить, что этот интеграл равен интегралу Лебега от взятому по множеству точек окружности, для которых больше единицы. Тогда, проделав предыдущие расчеты и полагая будем иметь;

где интеграл берется по множеству точек, где положительна, и выбрасываются точки, в которых заключено между и нулем; но

я этот последний интеграл, как легко видеть, ограничен так же как интеграл

Итак,

и заключение имеет силу.

Можно даже освободиться от условия равномерной сходимости на множестве и от непрерывности функций в замкнутой области. Предыдущие условия нужно тогда заменить условием:

В самом деле, доказано, что в этом случае функции имеют почти всюду на окружности предел если подходить по радиусам. Но я ограничусь здесь указанием этого результата, отсылая к оригинальным работам.