§ 116. Нормальные семейства голоморфных функций.

Пусть дано семейство функций голоморфных в области четырех измерений. Мы говорим, что это семейство нормально внутри или более кратко — нормально в если всякая бесконечная последовательность функций этого семейства порождает последовательность, сходящуюся равномерно во всякой области внутри к предельной функции конечной или бесконечной. Мы будем говорить, что семейство нормально в точке если оно нормально в гиперсфере с центром Семейство, нормальное в будет нормально в каждой точке внутри Обратно, семейство, нормальное в каждой точке внутренней для нормально в (V): это доказывается так же, как в случае одного переменного, применяя теорему Бореля-Лебега для пространства четырех измерений: достаточно использованный в плоскости, заменить гиперцилиндром или гиперсферой.

Мы говорим, что функции из семейства функций, непрерывных в равностепенно непрерывны в этой области, если каждому числу можно отнести число такое, что когда расстояние между двумя точками области меньше 8, то имеем:

Вместо неравенства

можно принять два совместных неравенства:

Если значения функций ограничены в некоторой точке из то то же самое будет во всякой области внутри

Семейство функций равностепенно непрерывных в есть семейство нормальное: это доказывается, следуя в точности по тому же пути, что в § 12 лишь сеть квадратов в плоскости заменяется сетью гиперкубов в пространстве четырех измерений.