§ 135. Случай, когда функции могут быть равными.

Рассмотрим теперь гипотезу, что числа нулей функций остаются меньше фиксированных чисел. Предположим, например, что не имеет более нулей, не имеет более нулей и не имеет более

нулей при условии что всегда можно считать выполненным обменяв в случае надобности обозначения функций

При этих условиях функция

есть функция мероморфная, для которой число полюсов, число нулей и число точек, где эта функция равна единице, не превосходят соответственно целых чисел Известно, что если для функции фиксировать условия таких, что не существует рациональной дроби, удовлетворяющей этим условиям имеющей самое большее полюсов и нулей, то существует число такое, что внутри круга, радиуса большего либо функция перестает быть мероморфной, либо она имеет более полюсов, либо более нулей, либо более точек, где значение равно единице

Например, если фиксировать первые коэфициентов в разложении в ряд Тейлора, то существует функция от если только это разложение не может представлять рациональной дроби указанного типа. В противном случае должны удовлетворять рекуррентному линейному соотношению с членами и детерминант

порядка будет нуль. Итак, если то число существует. Так как величины у могут быть вычислены через коэфициенты с помощью уравнений, написанных в § 133, то в условии может быть заменено его выражением через первых коэфициентов разложений Тейлора для функций Результат можно получить проще, поступая следующим образом: если есть рациональная дробь указанного типа, то имеем:

обозначает полином степени полином степени Это тождество перепишем в виде:

Итак, в исключительном случае можно определить три полинома степеней, меньших или равных и удовлетворяющих двум предыдущим тождествам. Если записать эти полиномы с неопределенными коэфициентами, то первые уравнений отождествления,

относящиеся к первому тождеству, и первых уравнений отождествления, относящиеся ко второму, позволяют вычислить неопределенные коэфициенты, если детерминант из неизвестных, который здесь будет порядка равен нулю. Этот детерминант, который легко составить, содержит коэфициенты индексы которых изменяются от нуля до

Возьмем, например, случай Имеем:

и тождества:

откуда выводим:

Детерминант из неизвестных будет:

Если то функция не может быть рациональной дробью указанного типа. Итак: Пусть даны функции:

голоморфные около начала и такие, что уравнения:

не имеют соответственно более корней. Вообще существует положительное число

такое, что внутри круга радиуса, большего либо одня из функций не будет голоморфна, либо одяэ из предыдущих уравнений имеет более или или корней.

Чтобы число существовало, достаточно, чтобы некоторый детерминант зависящий от первых коэфициентов каждого разложения, был отличен от нуля.

Вообще, если фиксировать другие коэфициенты, а не первых, то легко будет образовать соответствующий детерминант из этих новых коэфициентов, следуя по пути, указанному в этом параграфе.

Допустим теперь, что даны значения функций точках плоскости; значения определены в этих точках и существует предел кроме исключительного случая, где рациональная функция указанного типа может принимать значения, приданные в рассматриваемых точках Следуя по тому же пути, как в предыдущем, легко получим условия существования в форме где детерминант легко образовать.

Рассмотрим еще частный случай, когда и предположим заданными значения рассматриваемых функций в точках Пусть суть соответствующие значения Число существует, если только некоторая рациональная дробь первой степени, иначе говоря, линейная функция от не принимает значений в точках Но чтобы такая линейная функция существовала, необходимо и достаточно, чтобы ангармонические отношения были равны. Итак, чтобы существовало, достаточно, чтобы

Легкий подсчет, который мы опускаем, позволяет выразить ангармоническое отношение значений у через значения, приданные функциям Положим:

тогда имеем:

.и условие принимает вид: