§ 40. Первая теорема Пикара.

Сначала будем рассматривать функции, имеющие одну особую точку, которую мы будем предполагать находящейся в бесконечности: функция будет целой функцией; докажем классическую теорему, первую теорему Пикара.

Если целая функция не равна тождественно постоянному, то она принимает все значения, кроме, быть может, одного. Предположим, что существуют два исключительных значения можно считать, что эти значения суть нуль и единица, совершив в случае необходимости линейное преобразование:

Опишем последовательность кругов имеющих центры в начале и радиусы, равные и положим:

Каждая из функций есть функция целая, следовательно, в частности, голоморфна в круге кроме того, функция принимает в круге те же самые значения, что функция в круге Так мы реализуем конформное отображение, с помощью преобразования подобия, каждого круга на круг Допустим теперь, что функция никогда не принимает ни значения нуль, ни значения единица, тогда ни одна функция в круге не принимает ни

первого, ни второго из этих значений, и, следовательно, семейство функций нормально в круге Я утверждаю, что это невозможно. В самом деле, семейство ограничено в точке О, потому что следовательно, оно ограничено в каждой области внутренней например в Отсюда выводим заключение, что функция ограничена во всей плоскости, потому что всякая точка плоскости принадлежит кругу принимает в те же самые значения, что в В силу теоремы Лиувилля (Liouville) функция будет тождественной постоянной.