§ 48. Обобщения.

Эта теорема допускает обширные обобщения: прежде всего всякое условие, позволяющее исключать постоянные из рассматриваемого семейства, приводит к обобщениям. Например рассмотрим все функции, принимающие в начале значение а точке значение Я утверждаю, что существует число зависящее только от такое, что ни одна функция не может оставаться голоморфной и допускать исключительные значения нуль и единица в круге с центром О и радиусом, большим

Допустим, что предела не существует. Возьмем единицу длины больше тогда существует функция удовлетворяющая равенствам

и голоморфная в круге радиуса единица, где она не принимает ни значения, равного нулю, ни значения, равного единице. Существует также функция удовлетворяющая тем же равенствам, голоморфная в круге радиуса два, где она не принимает ни значения нуль, ни значения единица и так же функция удовлетворяющая тем же условиям в круге радиуса

Функции

образуют нормальное семейство в круге радиуса единица; можно выбрать последовательность

которая сходится равномерно в круге радиуса у к голоморфной функции

Функции начиная с некоторого номера, голоморфны в круге радиуса , где они не принимают ни одного из значений нуль и единица; они образуют семейство, нормальное в этом

круге. Сходясь равномерно круге радиуса они сходятся равномерно в круге радиуса в силу теоремы Стилтьеса к голоморфной функции, которая есть продолжение функции Итак, эта функция голоморфна во всяком круге: это есть целая функция: она не принимает ни в одной точке ни значения нуль, ни значения единица. В противном случае, так как не принимают ни одного из этих значений, была бы постоянной, нулем или единицей. Но не может быть постоянной, потому что

Итак, получаем противоречие, и предел существует. Он зависит только от Это доказательство является общим и приложимо ко всякому нормальному семейству, состоящему из функций, являющихся постоянными, и таких, что ни одна предельная функция равна тождественно постоянному. Существует число соответствующее этому семейству.

Предыдущие теоремы могут быть распространены на функции которые могут принимать некоторое число раз значения нуль и единица.

Пусть

есть функция, голоморфная в круге радиуса в котором она принимает не более раз значение нуль и не более раз значение единица в каждом круге концентрическом с модуль остается меньше конечного числа, которое зависит только от

В самом деле, функции образуют нормальное семейство в круге если числа фиксированы. Следовательно в круге модуль функции не может превышать числа которое зависит только от выбора круга и от чисел Если числа изменяются таким образом, что их модуль не превосходит верхнего предела а, то модуль в круге остается меньше определенного числа

Впрочем, вместо того чтобы фиксировать или ограничивать коэффициенты можно фиксировать или ограничивать значения и некоторых ее производных в точках Предположим определенным образом данными или ограниченными по модулю значения:

причем

В этих условиях существует число зависящее от и данных значений.

Пусть

будет функция, голоморфная в круге радиуса в котором она принимает не более раз значение нуль и не более раз значение

единица существует верхний предел для чисел зависящий только от

Другими словами, в круге радиуса, большего все функции, разложения которых в окрестности начала имеют данных первых коэфициентов, либо не будут голоморфны, либо принимают более чем раз значение нуль, либо более раз значение единица.

Достаточно повторить доказательство, данное в конце предыдущего параграфа. Можно заменить условие условием это условие имеет целью исключить полиномы степени из рассматриваемого семейства.

Можно также дать значения:

с условием, что

если только не существует полином степени удовлетворяющий условиям, наложенным на функцию Необходимо и достаточно для этого, чтобы некоторый детерминант образованный из чисел и данных значений, был отличен от нуля. Например в случае, когда все равны единице и равно детерминант напишется:

где

Различные предложения, которые мы получили, — качественного порядка: доказано только существование некоторого верхнего предела или последовательности кругов Возможно придать этим теоремам количественную форму; это — форма теорем Шоттки и Ландау, определяющих верхний предел числа Точное значение этого числа было получено Каратеодори.

Можно также дать количественную форму теореме Жюлиа, как это следует из работ Миллу Используя теорему Шоттки и неравенство Карлемана (Carleman), Миллу доказал существование в случае целой функции кругов заполнения (cercles de remplissage). Это суть круги, которые видны из начала не под постоянным углом, как круги но под углом, имеющим пределом нуль, когда расстояние

их центров от начала бесконечно увеличивается. В каждом круге целая функция принимает все значения, внутренние для круга кроме, быть может, значений, содержащихся в круге радиуса здесь есть убывающая функция стремящаяся к нулю вместе с она связана с максимумом модуля на окружности

Пусть —луч, предельный для лучей, соединяющих начало с центрами кругов заполнения. Этот луч есть прямая У. В самом деле, если рассматривать угол произвольно малого раствора, для которого есть внутренняя биссектриса, то он содержит бесконечное множество кругов, потому что эти круги видны из начала под углом, который стремится к нулю. Так приходим к теореме Жюлиа и видим, что всякая прямая есть прямая У. Неизвестно, будет ли верно обратное.