§ 98. Последовательности, которые сходятся на бесконечном множестве внутренних точек.

Последовательность мероморфных функций, принадлежащих нормальному семейству, которая сходится в бесконечном множестве точек, взятом полностью внутри области, сходится во всей этой области.

Пусть будут точки, где последовательность сходится, и внутренняя предельная точка. Если последовательность не сходится во всей области, то найдется хотя бы одна точка где она допускает два различных предела Следовательно, мы можем выбрать из последовательности последовательность которая имеет в точке пределом а, и другую последовательность которая имеет в точке пределом . Так как семейство нормально, то из последовательности мы можем выбрать две новых последовательности, которые сходятся равномерно внутри соответственно к двум мероморфным функциям Разность не равна нулю тождественно, ибо она отлична от нуля в она должна иметь бесконечное множество нудей в окрестности внутренней точки что невозможно, потому что эта точка есть обыкновенная точка или полюс. Теорема доказана.

Каждому признаку, позволяющему утверждать, что семейство нормально в силу двух предыдущих теорем, соответствуют два отдельных предложения, относящихся к этому семейству.