§ 14. Случай неаналитических функций.

Не все гипотезы, высказанные в формулировке предыдущей теоремы, являются необходимыми. Мы уже заметилиг, что функции должны быть ограничены в совокупности внутри области, и эта гипотеза была использована два раза. Но гипотеза, что функции голоморфны, служила только для доказательства леммы о равностепенной непрерывности. Если же мы имеем семейство функций, обладающих равностепенной непрерывностью, то не является необходимым предполагать, что они аналитические; например это могут быть функции двух переменных х и у, которые мы продолжаем ради краткости называть функциями от

Уточним смысл этого понятия равностепенной непрерывности, введенного Асколи

Функция, непрерывная в замкнутой области равномерно непрерывна в этой области, т. е. каждому положительному числу в можно поставить в соответствие число 8 такое, что для всяких двух точек области, расстояние между которыми меньше имеем:

обозначим через наибольшее значение 5, при котором неравенство еще имеет место.

Функция или всякая меньщая функция представляет так называемый модуль непрерывности.

Каждой функции данного семейства в соответствует таким образом максимальное значение но если семейство бесконечно, то может случиться, что при фиксированном множество модулей непрерывности допускает нуль как единственное предельное значение. Если допустим, что нуль не является предельным значением, тогда для каждого значения существует число меньшее относящееся ко всем функциям, т. е. возможно определить модуль непрерывности общий всем функциям семейства. Если это условие выполнено, говорим, что функции семейства равностепенно непрерывны в замкнутой области .

Равностепенную непрерывность можно определить иначе. Известно, что колебание функции в области есть верхний предел чисел относящихся к двум каким-нибудь точкам этой области, а колебание в точке есть нижний предел колебаний, относящихся к

вательности областей, стягивающихся в точку если колебание в точке нуль, то функция непрерывна в этой точке. Можно таким же образом определить колебание семейства функций в области (это есть верхний предел чисел относящихся ко всем функциям семейства) и колебание семейства в точке Если это колебание — нуль, то семейство равностепенно непрерывно в Если семейство равностепенно непрерывно во всех точках некоторой области, то оно равностепенно непрерывно в этой области, и обратно.

Гипотеза, что функции ограничены в совокупности и равностепенно непрерывны в каждой области полностью внутри достаточна, чтобы доказать теорему.

Условие равностепенной непрерывности будет выполняться, например, когда число ограничено для всех функций и всех пар точек принадлежащих области оно может выполняться в случае гораздо более общем, например, если все функции удовлетворяют одному и тому же условию Липшица т. е. если существуют два числа таких, что

для всех функций и всех пар точек области

Обратно, если семейство функций обладает свойством, что всякая бесконечная последовательность функций семейства порождает сходящуюся последовательность, то семейство равностепенно непрерывно.