§ 93. Быстрота сходимости. Распространения теоремы Стилтьеса.
Рассмотрим теперь последовательность функций 
голоморфных в
области 
и сходящихся равномерно в некоторой внутренней области 
к голоморфной функции 
обозначим через 
максимальный модуль разности 
Число 
стремится к нулю вместе с 
и быстрота роста — может измерять быстроту равномерной сходимости в 
Допустим, что 
остается голоморфной в области 
содержащей 
и содержащейся в 
Мы можем провести два круга, имеющие общим центром точку, внутреннюю области 
первый 
полностью внутри 
второй 
внутри 
Пусть — максимальный модуль 
Если 
ограничено, каково бы ни было 
, то последовательность сходится в 
в силу теоремы Стилтьеса. Допустим, что 
бесконечно возрастает, и проведем круг 
радиуса заключенного между радиусами 
кругов 
обозначим через 
максимальные модули разности 
на 
можно взять 
на 
и так как на 
то берем 
отсюда выводим:
Тогда если 
не слишком быстро растет, то последовательность вводится равномерно в круге 
Допустим, например, что
остается ограниченным 
Можно написать:
если 
Беря у настолько близким к единице, чтобы 
т. е.
обеспечим сходимость в соответствующем круге 
если 
растет менее быстро по отношению к 
если, например, произведение
остается ограниченным и меньшим 
то
будет выражение, которое стремится к нулю вместе каково бы 
было у. Последовательность сходится во всем круге 
Можно ядро сходимости 
заменить дугой кривой 
внутри 
достаточно сделать конформное отображение плоскости, в которой сделан разрез 
на внешность круга, чтобы свести к предыдущему случаю. Можно также заменить эту дугу кривой счетным множеством точек, имеющих предельную точку внутри 
тогда, чтобы результат оставался верным, надо сделать специальные предположения о структуре этого множества.
Теперь мы выведем из неравенства Адамара важный, результат, относящийся к сравнению быстроты сходимости последовательности голоморфных функций в двух частях ее области сходимости. Для непрерывных неаналитических функций быстрота сходимости может сильно изменяться от одной части к другой; для аналитических функций эта быстрота сравнима в том смысле, что, обозначая через 
наиболь 
модули разности 
в двух частях, получим отношение
остающееся, как показал, Островский, заключенным между фиксированными пределами.
Пусть 
— области, содержащиеся внутри области сходимости 
которую мы считаем односвязной и О точка внутри 
Мы можем отобразить конформно 
на внутренность круга 
так, чтобы точка О соответствовала точке 
Тогда областям 
будут соответствовать две области 
и принадлежащие 
причем первая содержит начало. Проведем круг 
концентрический кругу 
радиусом 
настолько малым, чтобы он содержался в 
и круг 
настолько большой, чтобы он содержал и пусть 
окружность, ограничивающая 
Назовем 
функции, полученные из первоначальных при этом конформном отображении, и 
предельную для них функцию, голоморфную в замкнутой области 
Числа 
пусть относятся к 
и к кругам 
и 
Имеем:
где 
обозначает максимум модуля 
Так как сходимость равномерна, то начиная с некоторого индекса,
и можно взять 
В результате
Число у зависит только от вида 
оно не зависит от 
Можно было бы видеть, что и обратное отношение ограничено.
