КВАЗИ-НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА

§ 34. Определение квазинормального семейства.

Введем теперь понятие, близкое понятию нормального семейства, а именно — понятие квазинормального семейства. Говорят, что семейство функций, голоморфных в области есть квазинормальное семейство в этой области, если из всякой бесконечной последовательности функций этого семейства можно выбрать новую подпоследовательность, сходящуюся равномерно внутри за исключением, быть может, конечного числа точек. Точки, где сходимость неравномерна, называются иррегулярными точками. Если число иррегулярных точек, которое может изменяться с изменением последовательности, не превосходит никогда и может достигать этого числа, то говорят, что семейство есть квазинормальное порядка Могут существовать иррегулярные точки только такие, что вне этих точек последовательность сходится равномерно к бесконечности. В самом деле, пусть А — иррегулярная точка; опишем небольшой круг с центром в и допустим, что предельная функция последовательности имеющей А иррегулярной точкой голоморфна вне иррегулярных точек. В силу теоремы

Вейерштрасса сходимость будет равномерна внутри круга и предельная функция будет голоморфна также в А.

Итак, точка может быть в этом случае иррегулярной точкой. Иррегулярные точки могут существовать только, если вне этих иррегулярных точек последовательность сходится к бесконечности; другими словами: если квазинормальное семейство не имеет предельной функцией тождественную бесконечность, то оно необходимо нормальное семейство.