§ 99. Сходящиеся последовательности мероморфных функций.

Рассмотрим теперь сходящуюся последовательность функций, мероморфных в области Теорема, доказанная для рядов голоморфных функций, будет верна:

Во всякой области, внутренней к области сходимости, можно найти область, где ряд сходится равномерно.

Для доказательства используем изображение точек на сфере Римана и понятие сферического расстояния. Функции, мероморфные в области суть функции непрерывные на сфере. Так как последовательность для всякой точки сходится к функции то можно, задав найти целое число изменяющееся с и такое, что для выполняется неравенство

Зададим фиксированное число я утверждаю, что во всякой области внутренней области существует область для которой неравенство

будет выполняться, каково бы ни было и каковы бы ни были большие числа Действительно, либо это неравенство выполняется для и теорема доказана, либо, каково бы ни было существует два целых числа и больших и точка Для которой

Функции сферически непрерывны, то же самое будет для их сферического расстояния следовательно, можно найти область внутри в которой последнее неравенство остается справедливым. Если неравенство

выполняется в каковы бы ни были большие некоторого числа то теорема доказана; иначе, взяв больше можно заключить, что существуют два целых числа большие первых, и точка из для которой

и это неравенство остается снова точным, если заменить точкой области внутренней

Продолжая так, мы либо дойдем до области для которой неравенство

выполняется во всякой точке, начиная с некоторого значения индекса, и теорема будет доказана; либо таким путем определим бесконечную последовательность областей вложенных одна в другую, и пар чисел пр и неограниченно возрастающих и таких, что неравенство

выполняется в Я утверждаю, что эта вторая гипотеза невозможна» Пусть в самом деле, есть точка, общая всем последовательность сходится в следовательно, существует целое число такое, что для имеем:

Но числа пр возрастают неограниченно, и можно взять настолько большим, чтобы пр а это приводит к противоречию.

Итак, существует внутри область для которой, начиная с некоторого индекса

Оставим фиксированным; функция сферически непрерывна; следовательно, область можно уменьшить так, что сферическое колебание не будет превосходить пусть тогда — фиксированная точка, сокращенной таким образом, области неравенства:

влекут

каково бы ни было Если взять увидим, что каково бы ни было и, точки, изображающие значения не попадают на некоторую часть сферы Римана.

Итак, последовательность нормальна в следовательно, сходится равномерно в этой области к мероморфной функции.