§ 46. Теорема Шоттки (Schottky).

Пусть

будет функция, определенная рядом Тейлора Если он сходится во всей плоскости, то имеются точки, где принимает значения либо нуль, либо единица. Можно определить число такое, что во всяком круге с центром в О и радиусом, большим либо функция перестает быть голоморфной, либо она принимает значения нуль или единица. Мы увидим, что числа -относительно каждой функции имеют верхний предел, зависящий только от коэфициентов как доказал Ландау.

Прежде докажем предложение, установленное Шоттки

Пусть функция

голоморфна в круге радиуса в котором она не принимает ни значения нуль, ни значения единица; тогда в каждом концентрическом

круге радиуса модуль остается меньше определенного постоянного числа, которое зависит только от и 6. Положим

функции принимают в круге радиуса единица те же самые значения, что в круге Эти функции образуют нормальное семейство в круге

Имеем итак, модуль ограничен в круге радиуса Верхний предел зависит, очевидно, только от и 6. Пусть этот предел: модули функций допускают в круге тот же самый верхний предел.

Если мы будем рассматривать теперь функции, принимающие в центре переменные значения модуль которых меньше некоторого фиксированного числа а, то будем иметь также где число, зависящее только от a и b.

Можно также определить крут запрещенных значений около значений нуль и единица: достаточно рассмотреть функции Так получаются неравенства: