§ 96. Теорема Островского.

В точке около которой последовательность не является нормальной, эта последовательность не может сходиться равномерно; но может случиться, что некоторая подпоследовательность, выбранная из первой, сходится равномерно в этой точке. Для этого, очевидно, нужно, чтобы предел в окрестности был голоморфной функцией.

Рассмотрим в качестве примера ряд Тейлора, имеющий бесконечное множество пропусков (lanmes). Известно, что пропуском называют всякую группу последовательных членов, коэфициенты которых нули; пустф показатели степени членов, которые предшествуют пропуску и следуют непосредственно за ним: число изображает ширину пропуска, а число будет относительной шириной. Допустим, что ряд имеет бесконечное множество пропусков, относительная ширина

которых превосходит положительное число 0. Тогда можно доказать теорему Островского.

Если ряд Тейлора имеем бесконечно много пропусков, относительная ширина которых остается больше положительного числа, то последовательность полиномов-отрезков этого ряда, оканчивающихся в начале этих пропусков, сходится равномерно около каждой лежащей на окружности круга сходимости точки, которая регулярна для суммы ряда.

Сумма ряда, по предположению, голоморфна в круге (фиг. 20) имеющем центром точку окружности круга сходимости радиус которого считаем равным единице. Проводим три круга имеющие центром точку О, расположенную на радиусе на расстоянии а от точки и радиусами:

Фиг. 20.

Если а достаточно мало, то эти круги будут внутри (у): в самом деле, когда а стремится к нулю, круг сводится в точку; следовательно, существует число такое, что для круг будет внутри

Когда находится в круге модуль функции имеет верхний предел, который был вычислен в предыдущем параграфе. Положим здесь:

и

тогда

где И обозначает постоянную; если есть максимум модуля функции в то имеем для

где новая постоянная; если обозначим через максимальный модуль разности на и через логарифм то получаем:

Вычислим верхний предел разности когда

если есть максимальный модуль функции в круге причем то имеем:

и

в частности, если лежит в то можно взять

если тогда обозначает максимум модуля разности в круге то имеем:

Но меньше единицы, когда а заключено между нулем и единицей: логарифм отрицателен; с другой стороны, неравенство

влечет

и

Применим теорему о трех кругах к кругам обозначая через максимум модуля разности мы будем иметь:

где

Коэфициент при есть непрерывная функция а, если а близко к нулю; его разложение в ряд вблизи будет:

Следовательно, можно выбрать меньше и настолько малым, чтобы коэфициент при оставался меньше, чем Дадим а фиксированное значение, выбранное таким образом; неравенство

показывает, что стремится к нулю, когда неограниченно растет Последовательность сходится равномерно в круге следовательно, в круге с центром в и радиусом Предложение доказано.

Допустим, в частности, что после каждого неравного нулю члена ряда имеем пропуск, относительная ширина которого ограничена снизу. Тогда последовательность представляет полную последовательность полиномов-отрезков. Если бы она сходилась в окрестности точки то ряд Тейлора сходился бы вне круга сходимости. Следовательно, все точки окружности суть особые точки, и круг сходимости есть естественная граница Мы получаем теорему Адамара.