§ 70. Порядок иррегулярной точки. Полный порядок.

Пусть последо вательность мероморфных функций сходится равномерно вблизи точки Если уравнения:

ияеют соответственно не более корней вблизи то уравнения начиная с некоторою индекса, для всех значений а, кроме, быть может, одного значения имеют число корней меньшее некоторою фиксированного числа .

Выражение «корни, близкие г», надо понимать, как в предыдущем параграфе.

Выполняя в случае нужды линейное преобразование, мы можем притти к случаю, когда и Мы предполагаем, что всякая функция последовательности действительно имеет нулей и полюсов. Если бы нашлось бесконечное множество функций, не удовлетворяющих этим условиям, то можно было бы повторить доказательство, взяв другое число нулрй и полюсов.

Пуст полюсы функции будут а нули полосы чогда:

где функции, голоморфные к некотором фиксированном круге с центром в точке в котором не обращается в нуль.

Сначала допустим, что предел функций не есть ни тождестве нуль, ни тождественная бесконечность, и пусть Сходимость голоморфных функций равномерна на окружности (у); следовательно, она равномерна внутри, и предельные функции:

голоморфны и не равны тождественно нулю, бесконечности.

Значит, отлично от нуля, потому что не обращаются в нуль в окрестности Рассмотрим голоморфную функцию:

являющуюся предельной для последовательности:

чтобы была тождественно равна нулю, второй сомножитель должен обрашагься в нуль. Так как то должны иметь:

Предположим, что функция имеет корнем кратности в точности и так как не нуль, то, каково бы ни было а, функция имеет корней вблизи Число указанное в формулировке теоремы, есть наименьшее из чисел а исключительное значение, которое есть бесконечность, соответствует наибольшему.

Пусть теперь Если а не равно то справедливы те же самые заключения, но бесконечность не будет больше исключительным значением. Доказательство не говорит ничего о нулях функции которые могут быть любыми числами. Исключительным значением может быть

Предположим, наконец, что будет тождественно равно нулю: также тождественно равно нулю и сходимость не перестает быть равномерной. Отсюда следует, что, начиная с некоторого индекса, имеем:

потому что числитель имеет предел, отличный от нуля. Начиная с этого номера в силу теоремы Руше функция имеет в точности корней внутри Итак, для всякого значения а, включая и бесконечность, функция имеет корней вблизи исключение будет для значения, равного нулю, которое дает корней. Если тождественно равна бесконечности, то заменяем через Доказательство приложимо к случаю, когда равно нулю. Мы уже знаем, что в этом случае точка не может быть иррегулярной точкой, если не равно тождественно нулю. Кроме того, этот случай приводит к случаю голоморфных функций.

Доказательство дает нам способ получить во всех случаях исключительное значение. Вот несколько примеров. Функция

принимает всякое значение а в точке, близкой к началу: нет исключительных значений.

Последовательность функций

сходится к единице во всех точках плоскости, но сходимость не равномерна около начала. Функция для очень большого имеет полюс вблизи начала; она имеет также для очень большого в силу теоремы Руше вблизи начала нуль. Следовательно, имеем и мы можем утверждать, что уравнение имеет корень вблизи начала кроме, быть может, значения Немедленно получаем

функция тождественно равна единице. Уравнение

действительно имеет тройной корень в начале. Пусть дана теперь последовательность

для которой имеем также

исключительное значение есть единица.

Уравнение

имеет корней, равных нулю. Итак, видим, что для исключительного значения могут представиться все случаи.

Пусть сходящаяся последовательность мероморфных функций имеет иррегулярную точку Мы говорим, что есть иррегулярная точка порядка если уравнения начиная с некоторого индекса, допускают не более корней вблизи кроме, быть может, одного значения а, и для бесконечного множества функций предел действительно достигается.

Если для квазинормального семейства всякая последовательность функций семейства дает начало сходящейся последовательности, для которой все иррегулярные точки будут конечного порядка и сумма их порядков остается меньше некоторого числа то мы говорим, что семейство квазинормальное полного порядка