§ 109. Множество иррегулярных точек

Рассмотрим теперь множество иррегулярных точек, около которых последовательность не будет нормальна. Такое множество всегда существует и содержит бесконечное множество точек. В самом деле, мы видели, что точки С, которые принадлежат отталкивающим циклам, образуют часть и число их неограниченно.

Впрочем, можно непосредственно получить, что последовательность не может быть нормальной во всей замкнутой плоскости. Если

бы это было иначе, то всякая подпоследовательность, выбранная из порождала бы последовательность сходящуюся равномерно во всей плоскости к предельной функции мероморфной во всей плоскости, включая бесконечность: была бы рациональной функцией степени или могла бы быть равна тождественно конечному или бесконечному постоянному. Пусть а — произвольное постоянное, если не сводится к постоянному, и постоянное, отличное от в случае, когда есть постоянное. Уравнение имеет корней; следовательно, уравнение а имеет также корней, если достаточно велико; но это невозможно, потому что это уравнение имеет в точности к корней и это число неограниченно растет вместе с

Около точки С, принадлежащей последовательность не будет нормальной: это значит, что существует хотя бы одна подпоследовательность, выбранная из последовательности и не порождающая ни одной последовательности, равномерно сходящейся около Но можно доказать более полный результат: ни одна подпоследовательность, выбранная из последовательности не может быть нормальной в точке из

В самом деле, допустим, что существует последовательность выбранная из последовательности и содержащая последовательность которая сходится равномерно около точки Так как последовательность не нормальна в то функции в любом круге с центром 5 и с произвольно малым радиусом принимают в своей совокупности все значения кроме двух самое большее. Выберем два цикла порядка не менее трех, для которых ни одна неподвижная точка не будет бесконечно удаленной. Пусть неподвижные точки этих циклов. Начиная с некоторого индекса, принимает значение и значение потому что имеется более двух и более двух Начиная с этого индекса, все принимают в круге хотя бы одно значение и значение следовательно, то же самое для Предел этой последовательности в одновременно равен и ибо последовательность сходится равномерно в Так как это невозможно, то предложение доказано.