§ 106. Ограниченность числа индиферентных циклов.

Пусть теперь С — неподвижная индиферентная точка первого порядка. Это есть корень уравнения он будет простым, когда отлично от единицы, кратным, когда Изучение последовательности в окрестности неподвижной индиферентной точки было начато и дополнено в новых работах, которые мы указывали.

В окрестности точки первого порядка для которой существуют области притяжения и области отталкивания, для каждой из которых точка есть граничная точка.

Если есть точка, находящаяся в области притяжения, то последующие имеют пределом а если в области отталкивания, то бесконечная последовательность предшествующих имеет пределом Аналогичный результат имеем для индиферентного цикла любого порядка, для которого множитель равен единице или корню из единицы.

Изучение индиферентных циклов, для которых множитель будет в форме где а иррационально, гораздо более трудно.

Мы назовем индиферентным рациональным циклом цикл, для которого множитель имеет аргумент, соизмеримый с

Около точки неподвижной, индиферентной, рациональной точки порядка последовательность не может быть нормальной. Действительно, если есть неприводимый корень уравнения то С есть неподвижная точка для преобразования множителем или 1. Тогда имеем:

и последовательность выбранная из не будет нормальной около потому что имеет пределом в то время как ее производная порядка бесконечно возрастает.

Фату (Fatou) доказал, что число индиферентных циклов ограничено. Мы дадим его доказательство, принцип которого заключается в следующем: если рациональная подстановка степени допускает индиферентных циклов, то можно найти рациональную подстановку той же самой степени имеющую не менее у циклов притяжения. А так как число последних не может превосходить то не превосходит и предложение доказано.

Итак, пусть рациональная дробь, которой соответствует циклов, имеющих множители, равные по модулю единице; введем параметр и образуем рациональную дробь степени такую, что и есть рациональная дробь, не имеющая ни одного индиферентного цикла. Можно взять, например,

Пусть С есть неподвижная точка, принадлежащая индиферентному циклу для Число есть корень уравнения и имееж

причем

Рассмотрим уравнение:

которое имеет при корень когда близко к нулю, оно имеет корень который для приводится к Производная от левой части есть что при сводится к 5—1; если то 1) около есть голоморфная функция если то есть алгебраическая функция разложимая вблизи в ряд по степеням где целое. Множитель есть функция которая сводится к при и которая голоморфна относительно или в зависимости от того, отлично от единицы или равно единице. Эта функция не есть постоянная, потому что и

Мы можем повторить предыдущее для каждого из рассматриваемых индиферентных циклов, допуская вполне законно, что все их точки находятся на конечном расстоянии. Так мы получим функций разложимых около по возрастающим степеням или ни одна из этих функций не сводится к постоянной.

Заменяя параметр, например, подставляя вместо переменное и в степени с показателем, который будет общим кратным знаменателей приведем функции к функциям нового переменного, голоморфным

вблизи начала. Мы можем снова обозначать через это новое переменное и бдоем иметь разложений:

где целые числа; кроме того, имеем:

Докажем, что можно дать переменному значение, близкое к нулю, такое, что не менее из чисел будут иметь модуль меньше единицы.

Пусть одна из предыдущих функций; есть точка с аффиксом точка с аффиксом точка с аффиксом Мы пропускаем индексы для краткости. Точка находится на окружности с центром в начале и радиусом единица. Вектор есть сумма векторов и Допустим, что мы нашли значение для которого не менее отрезков будут внутри тогда можно найти значение с тем же самым аргументом и меньшим модулем, ргбо, такое, что точки будут отвечать высказанному требованию.

В самом деле, рассмотрим отрезок лежащий либо вне, либо внутри круга но не касающийся его; можно провести два луча, имеющие биссектрисой и ограничивающие малый угол, точки которого, близкие вершине будут также все вне или внутри Пусть тангенс наименьшего полученного таким образом полуугла.

Отношение бесконечно мало вместе с следовательно, можно взять меньше и настолько малое, чтобы все отношения, соответствующие функциям были меньше 8. Когда изменяется от нуля до точки перемещаются по биссектрисам. Мы видим таким образом, что точки соответствующие выбранному значению будут по отношению круга в том же относительном расположении, что и точки Число точек внутренних кругу, будет то же, что и число точек

Следовательно, все сводится к определению 60 так, чтобы не менее векторов были внутри круга; выбрав таким образом , можно взять произвольно малым.

Обозначим через наивысшую степень двух, на которую делится хотя бы один из показателей степени В каждой точке проведем касательную к кругу и построим звезду, образованную лучами, которые составляют с этой касательной углы, кратные Когда точка описывает один из лучей этой звезды, аргумент переменного может принимать определенное число значений. Обозначим через

любое из этих значений, которых конечное число и которые соответствуют всем звездам относительно всех точек Возьмем:

где число, отличное от всех 0; пусть аргумент соответствующий Число зададим уравнением:

где числа равны нулю или единице и будут определены в дальнейшем.

Сгруппируем точки для которых показатель делится на тогда будем иметь:

для аргумент для точки этой категории будет:

с точностью до кратных

Если половина или больше половины числа отрезков лежат внутри круга, то мы возьмем если более половины этого числа суть вне круга, то мы возьмем каждый отрезок заменится симметричным по отношению и будем иметь больше половины числа новых отрезков, расположенных внутри.

Определив сгруппируем точки для которых показатель степени делится на и не делится на тогда имеем:

для аргумент вектора есть:

с точностью до кратных Направление не совпадает с касательной к кругу в точке в противном случае направление принадлежало бы звезде относительно точки что невозможно. Если более половины или половина числа точек этой категории дают направление внутрь круга, то возьмем в противном случае возьмем Для следующей категории имеем:

и аргумент

с точностью до кратных направление не совпадает с касательной к кругу в точке рассуждаем тем же самым образом далее.

Наконец, и, следовательно, 90 будут определены и проблема будет решена.