§ 37. Случай, когда квазинормальное семейство будет нормальным.

Если то семейство есть квазинормальное порядка нуль, нормальное семейство. Этот результат может быть получен прямо. В самом деле, пусть функция не принимает значения нуль и принимает не более раз значение единица; рассмотрим функции

Для каждой функции выбираем произвольно значение радикала в точке

Функция голоморфна, потому что не обращается в нуль 1). Пусть

будут корни степени из единицы; для каждой функции существует по крайней мере одно значение которого она не принимает, потому что

принимает не более раз значение единица. Рассмотрим теперь функции они допускают два исключительных значения — нуль, единица и образуют нормальное семейство; таково же будет семейство функций

Вот другой случай, когда можно утверждать, что семейство квазинормальное будет нормальным. Прежде всего: если функции квазинормалъного семейства порядка не выше в данной области имеют ограниченные значения модуля в точках этой области, то семейство нормально в этой области.

Пусть, в самом деле,

будет бесконечная последовательность функций я могу выбрать подпоследовательность, которая внутри области сходится равномерно к голоморфной функции или сходится равномерно к бесконечности, за исключением окрестности не более иррегулярных точек. Но этот второй случай не может иметь места, потому что по крайней мере одна из точек, где функция ограничена по модулю, не будет иррегулярной. Итак, всякая бесконечная последовательность порождает последовательность, сходящуюся всюду равномерно, и семейство есть нормальное семейство.

Предположим еще, что квазинормальное семейство образовано из функций, которые не принимают более раз значение нуль: Если в некоторой точке области значения каждой функции и ее первых производных ограничены, то семейство нормально в данной области.

Допустим, что рассматриваемая точка есть начало и покажем, что невозможно, чтобы последовательность функций неограниченно возрастала везде за исключением иррегулярных точек. В самом деле, в этом случае, независимо от того, будет или не будет начало иррегулярной точкой, функции последовательности неограниченно возрастают на окружности с центром в и с достаточно малым радиусом. Пусть

где обозначает сумму первых членов; равенство:

показывает, что для достаточно большого функции имеют одно и то же число нулей в круге (у); в самом деле, по предположению коэфициенты а ограничены, каково бы ни было , следовательно, модуль на окружности будет меньше некоторого постоянного фиксированного числа Возьмем настолько большим, чтобы тогда будем иметь и в силу теоремы Руше функции имеют одно и то же число нулей в Но функция

имеет самое меньшее следовательно, имеет больше

чем нулей, что противоречит допущению. Итак, ни одна последовательность не возрастает до бесконечности и семейство нормально. Более общий случай:

Пусть дано семейство, квазинормальное в области функции которого не принимают в этой области более раз значение нуль; предположим, что эти функции так же, как и их первые — 1 производные, ограничены в точке области что эти функции и их первые — 1 производные ограничены в из и, наконец, что функции и их первые производные ограничены в точке Если при этом

то семейство нормально в

В самом деле, допустим, что существует последовательность:

функций семейства, которые сходятся к бесконечности везде, кроме конечного числа точек, и пусть контур внутри не проходящий ни через одну иррегулярную точку и окружающий все точки

Для данной функции существует полином степени не выше удовлетворяющий следующим условиям:

Коэфициенты этого полинома получаем, разрешая систему из уравнений первого порядка с неизвестными, определитель которой:

имеет определенное значение, потому что фиксированы; это значение отлично от нуля, когда различны. Коэфициенты этого полинома выражаются линейно через

модули же этих чисел ограничены для всех функций семейства; то же самое будет для многочлена на контуре Функции стремятся

равномерно к бесконечности на контуре в то время как остается ограниченным, следовательно, функции

начиная с некоторого номера, имеют внутри столько же нулей, сколько . Но функция допускает не менее нулей, равных равных нулей, равных всего не менее нулей, в то время как допускает только не больше нулей. Это противоречие доказывает теорему,