§ 19. Семейство нормальное в точке.
Семейство называется нормальным в точке, если существует круг, имеющий центр в этой точке, в котором семейство будет нормально.
Семейство нормальное в открытой области есть, очевидно, нормальное во всякой точке этой области. Обратное также верно:
Если семейство нормально во всех точках области 
то оно нормально в этой области. Достаточно, как мы отмечали, доказать, что оно нормально в каждой замкнутой внутренней области. Пусть 
такая область, тогда семейство нормально во всех точках 
включая границу. Я утверждаю, что оно нормально в 
В самом деле, предположим, что это будет не так и разделим область 
на несколько замкнутых подобластей помощью системы квадратов со сторонами 
По крайней мере в одной из этих частных областей 
семейство 
будет нормально, ибо, если оно нормально в каждой подобласти, то бесконечная последовательность функций 
порождает подпоследовательность 
сходящуюся в первой подобласти. Из этой последовательности 
нормальной во второй подобласти, извлекаем вторую последовательность 
сходящуюся равномерно в обеих первых областях. И так далее до последней последовательности 
сходящейся во всех частных областях, т. е. в 
что противоречит нашей гипотезе.
Итак, семейство не нормально в области 
помощью системы квадратов со сторонами 
содержащихся в первых, получаем новую область содержащуюся в в которой семейство не будет нормально. Затем, пользуясь разбиением на квадраты со сторонами 
получаем область 
содержащуюся в в которой семейство не будет нормально, и т. д. Вложенные одна в другую области:
общую всем 
и принадлежащую 
В этой точке семейство не может быть нормальным, потому что как бы мал ни был круг с центром в 
области 
начиная с некоторого индекса, будут содержаться в нем. Это противоречит нашей гипотезе: значит, семейство в области 
нормально.
