§ 12. Существование предельных функций.

Определим теперь некоторое счетное множество точек в области которое всюду плотно в этой области. Для этого разобьем плоскость на квадраты со сторонами, равными единице. Конечное число вершин этих квадратов лежит в пусть

— эти вершины.

Рассмотрим затем разбиение на квадраты со сторонами, параллельными сторонам первых квадратов и равными 1/2; вершин этих квадратов, не принадлежащие первым, лежат внутри пусть это будут:

Затем берем разбиение на квадраты со сторонами, равными При помощи этого процесса получим счетное множество точек, плотное всюду в области

Возьмем бесконечную последовательность функций, принадлежащих семейству:

значения этих функций в выбранных вершинах квадратов образуют таблицу с двумя входами:

При помощи диагонального процесса, уже описанного в § 7, можем выбрать из последовательности: подпоследовательность:

сходящуюся во всех взятых вершинах. Для краткости положим:

Последовательность:

сходится к последовательность:

сходится к Последовательность:

сходится к . Функции, ограничены в области значит числа ограничены.

Я докажу, что предыдущая последовательность сходится равномерно во всех точках В силу классической теоремы Коши достаточно доказать, что для данного можно определить целое такое, что для неравенство выполняется, каково бы ни было целое и точка в области

Рассмотрим такое из числа указанных выше разбиение на квадраты, при котором стороны квадратов меньше, чем где число имеет значение, определенное в предыдущем параграфе. Если точки принадлежат одному и тому же квадрату, то, как мы видели,

каково бы ни было

Но всякая точка принадлежит по крайней мере одному квадрату рассматриваемого разбиения; пусть вершина этого квадрата, тогда

с другой стороны, последовательность сходится во всех вершинах разбиения, лежащих в и так как этих вершин конечное число, то можно определить целое число так, что для во всякой вершине имеем:

следовательно, во всех точках области

Последовательность функций равномерно сходится в