§ 22. Иррегулярные точки.

Исключительные последовательности. В § 19 мы видели, что если семейство ненормально в данной области, то существует внутри области точка где семейство не является нормальным. Этот факт, указанный Жюлиа, является источником очень важных следствий, которые мы рассмотрим в следующей главе.

Как ведет себя семейство около точки Так как семейство не будет нормальным ни в каком круге с центром в то для каждого круга имеющего центр в этой точке и радиус, равный , найдется хотя бы одна последовательность для которой ни одна подпоследовательность не может сходиться в Но эта последовательность может

изменяться с изменением 5. Может ли случиться, что существует последовательность (5), для которой ни одна подпоследовательность не сходится равномерно ни в одном круге каково бы ни было В этом случае мы говорим, что семейство ненормально в точке и называем точкой О всякую точку, обладающую этим свойством. В случае, когда последовательность изменяется с изменением 5, мы говорим, что семейство ненормально около точки и называем точкой всякую точку, обладающую этим свойством. А. Островский обратил внимание на это различие и показал, что в случае семейства аналитических функций точки и точки О совпадают 1).

Прежде всего всякая точка О есть, очевидно, точка Мы докажем, что всякая точка будет либо точкой О, либо точкой предельной для точек О, иначе говоря, либо принадлежит множеству точек О, либо множеству производному для множеств точек О. Рассмотрим область, в которой семейство ненормально, и вспомним доказательство § 19. Я утверждаю, что предельная точка является точкой О, иначе говоря, что существует исключительная последовательность (suite exceptionnelle), для которой ни одна подпоследовательность не сходится равномерно в круге с центром в для сколь угодно малого . В самом деле, существует последовательность:

ни одна подпоследовательность которой не сходится в потому что семейство ненормально в Рассмотрим второе разбиение на квадраты со сторонами предыдущая последовательность не может быть нормальной во всех областях внутренних области в противном случае она была бы нормальна в существует область где она не будет нормальной; следовательно, можно выбрать последовательность;

ни одна подпоследовательность которой не сходится в Продолжая так, образуем последовательность

всякий член которой принадлежит всем предыдущим последовательностям и ни одна подпоследовательность которой не сходится в области можно продолжать так до бесконечности. Диагональная последовательность

не может сходиться равномерно ни в каком круге имеющем центр в точке общей всем областям В самом деле, когда достаточно велико, квадрат будет полностью внутри .

Последовательность же образована из членов последовательности следовательно, ни одна ее подпоследовательность не может сходиться в Итак, есть точка О. Следовательно, во всякой области, где семейство ненормально, существует хотя бы одна точка в частности, во всяком круге, имеющем центром точку 7, семейство не будет нормально, следовательно, этот круг содержит току О, которая, впрочем, может совпадать с точкой 7. Итак, всякая точка 7 есть точка О или предельная для точек О.

В предыдущем функции не предполагались аналитическими. Введем гипотезу, что функции семейства голоморфны в области Я утверждаю, что в этом случае множество точек 7, которое, очевидно, всегда замкнуто, совпадает с множеством точек О.

Очевидно, достаточно доказать, что множество точек О есть множество замкнутое. Пусть предельная точка бесконечной последовательности

точек этого множества. В круге с центром в и радиусом семейство не будет нормальным: следовательно, существует функция этого семейства, которая в этом круге принимает значение, меньшее по модулю, и значение, которое отличается от единицы по модулю меньше, чем на в самом деле, в противном случае будем иметь для всех функций или или и семейство будет нормальным в Рассмотрим последовательность

вблизи точки она принимает значения, сколь угодно близкие к значениям нуль и единица, и то же самое для всякой подпоследовательности, выбранной из последовательности (5). Итак, последовательность (5) будет исключительной, и предельная точка будет точкой О. Таким образом множество точек 7 и множество точек О тождественны. В дальнейшем будем называть иррегулярной точкой семейства всякую точку где это семейство не будет нормально.

Для семейства функций, голоморфных и ограниченных в каждой точке, множество иррегулярных точек является совершенным, непрерывным и неплотным в области множеством; вместе с границей области оно образует связное множество.