§ 54. Точки, достижимые единственным способом.

Мы доказали, что если рассматривать линию оканчивающуюся в достижимой точке А границы то соответствующая ей линия (7) оканчивается в определенной точке а границы Если два пути оканчиваются в одной и той же точке А, достижимой только одним способом, то пути и оканчиваются в одной и той же точке а.

В самом деле, допустим, что оканчиваются в двух различных точках не могут пересекаться в бесконечном множестве точек, потому что эти точки имели бы точку А предельной и функция на этой бесконечной последовательности точек должна была бы стремиться одновременно к Можно предположить, что не пересекаются и имеют общее начало О: их соединение образует замкнутую кривую без двойных точек, ограничивающую область заключенную внутри и не содержащую точек границы, отличных от так как А достижима только одним способом. Пути выходят из одной и той же точки о и оканчиваются в они не пересекаются, следовательно, они разделяют на две новые области, из которых одна (8) соответствует Пусть точка дуги окружности круга прилежащей к (5); каким бы способом точки, внутренние (8), ни стремились к соответствующие им будут стремиться к которая есть единственная точка границы, принадлежащая Итак, функция голоморфная внутри (8), непрерывна и принимает на дуге окружности постоянное значение аффикс следовательно, она постоянна во всей плоскости, что невозможно.

Двум различным достижимым точкам контура соответствуют две различные точки окружности

В самом деле, предположим, что точки соответствуют одной и той же точке Рассмотрим определенный путь, оканчивающийся в например ломаную линию которая может содержать бесконечное множество звеньев вблизи Рассмотрим также ломаную линию оканчивающуюся в Я могу предполагать, что и имеют общее начало и не пересекаются. Пусть. соответствующие им в круге это линии без общих точек, образованные аналитическими дугами, оканчивающиеся в одной и той же точке Функция голоморфная и ограниченная в области, заключенной между этими двумя путями, стремится к когда стремится к следуя по когда стремится к следуя по В гл. VII мы увидим, что это невозможно.

Если два пути которые можно считать без общих точек кроме начала, ведут к одной и той же точке достижимой двумя различными способами, то соответствующие им ведут к двум различным точкам окружности. Действительно, если бы они вели к одной и той же точке то их соединение образовывало бы замкнутую линию, ограничивающую область (3) внутри не имеющую с ней общих точек границы кроме точки Эта линия разделяла бы на

две области; следовательно, замкнутая кривая, образованная соединением линий разделяла бы область на две области, из которых одна соответствовала бы но каждая из этих двух областей имеет достижимые точки границы, общие с и отличные от Предположение, которое мы сделали, отпадает, и концы суть две различные точки окружности

Мы доказали, что всякой достижимой точке соответствует вполне определенная точка окружности Отсюда нельзя заключить, что всякому пути оканчивающемуся в точке соответствует один путь оканчивающийся в действительно, мы увидим, что точкам, стремящимся к могут соответствовать точки, не стремящиеся к Заключение, однако, как мы сейчас увидим, справедливо, если область ограничена кривой Жордана.

Точка, достижимая несколькими способами, всегда ведет себя так, как будто бы она изображает несколько различных достижимых точек. Когда мы говорим достижимая точка, мы предполагаем всегда, что установлено, каким способом к ней приближаемся.