АЛГЕБРОИДНЫЕ ФУНКЦИИ, ДОПУСКАЮЩИЕ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ИНВОЛЮЦИИ

§ 139. Инволюция.

Даны два уравнения второй стенени:

Говорят, что корни и первого сопряжены корням второго, если

Корни удовлетворяют соотношению

которое можно переписать в виде:

понимая, что сумма относится к двум перестановкам а корней второго уравнения или к двум перестановкам корней первого. Говорят также, что числа принадлежат инволюции, двойные числа которой суть , или еще, что пара в инволюции с парой Расположение четырех точек плоскости, аффиксы которых суть хорошо известно. В частности, всякий круг, содержащий две точки одной пары, содержит хотя бы одну точку другой пары.

Вообще рассмотрим два уравнения степени

где числа С суть коэфициенты в разложении бинома степени Мы будем говорить, что корни и первого уравнения и корни второго суть в инволюции, если имеем:

где сумма распространена на перестановок чисел или на перестановок чисел Это условие легко выразить через коэфициенты уравнения, потому что левая часть есть симметрическая функция корней каждого из уравнений; таким образом получаем:

Если отметить точки плоскости, аффиксы кстэрых суть корни этих обоих уравнений, то геометрическое свойство системы из четырех точек, находящихся в инволюции, сохраняется: всякий круг, содержащий точки одной из групп, содержит хотя бы одну точку другой группы

То же самое условие получаем, желая выразить, что полином может быть представлен в форме суммы степеней биномов относительно корней второго полинома:

где суть постоянные. Чтобы это тождество было возможно, нужно, чтобы системы корней были в инволюции, нужно иметь:

Мы предполагали в предшествующем, что различны. В случае кратных корней нужно в сумме 2 повторять равные члены столько раз, сколько они встретились бы, когда корни были бы различны. Если а есть корень кратности а, то член

должен быть повторен а! раз.

Так же должно быть изменено представление помощью суммы степеней биномов; нужно писать:

если корень а кратности а.

В частности, если все числа равны, то условие инволюции примет вид:

оно выражает, что а есть корень уравнения кроме того, в этом случае полином представится в форме:

Наконец может случиться, что некоторые из чисел будут бесконечными. Достаточно выпустить соответствующий бином в сумме или в изображении помощью степеней. Соотношение:

дает новое условие в предположении, что последние коэфициенты нули. Этот результат легко оправдать либо переходом к пределу, либо прямым подсчетом.