§ 121. Нормальные последовательности, сходящиеся на бесконечном множестве точек.

Если бесконечная последовательность голоморфных функций одного переменного принадлежит семейству, нормальному в области, то сходимость в надлежащем множестве точек области влечет равномерную сходимость во всей области, как это следует из теорем Вейерштрасса, Стилтьеса, Витали и Бляшке. Будут ли приложимы подобные предложения к последовательностям голоморфных функций двух переменных

Пусть бесконечная последовательность функций голоморфных и принадлежащих семейству, нормальному в области сходится во всех точках множества этой области. Чтобы видеть, будет ли последовательность сходиться равномерно внутри попробуем установить, как мы это делали в случае одного переменного, что всякая подпоследовательность, выбранная из последовательности порождает новую последовательность, сходящуюся равномерно в области к одной и той же функции Для нормальной последовательности две какие-нибудь подпоследовательности порождают две новые последовательности, сходящиеся к двум голоморфным функциям, равным во всех точках множества Их разность равна нулю в этих точках и голоморфна в Чтобы эти предельные функции были тождественны, достаточно, чтобы множество было такое, что всякая голоморфная функция равная нулю в этих точках, была бы тождественным нулем.

Так будет, конечно, если множество содержит все точки некоторого гиперобъема внутри как бы мал этот объем ни был. В самом деле, в некоторой точке внутри все производные от суть нули и соответствующий ряд Тейлора — тождественный нуль. Аналитическим продолжением выводим, что есть нуль внутри Итак, теорема Стилтьеса приложима.

Но теорема Витали вообще неприложима; если множество произвольно, то последовательность может сходиться во всех точках множества имеющего не менее одной предельной точки внутри и не сходиться равномерно в Например, последовательность:

сходится к нулю во всех точках характеристической поверхности не сходясь равномерно в окрестности точки

Пусть предельная точка множества внутри и характеристическая плоскость, проходящая через и некоторую точку из Плоскости допускают множество предельных плоскостей когда точка имеет пределов Если это множество содержит бесконечное множество различных предельных плоскостей то мы будем говорить, что точка бесконечного порядка. Тогда получаем следующее предложение:

Если нормальная последовательность функций голоморфных в области сходится во всех точках множества имеющего внутри не менее одной предельной точки бесконечного порядка, то последовательность сходится равномерно в области

Примем точку за начало и рассмотрим счетное множество плоскостей определенных уравнениями:

можно предполагать, что все числа конечны. Обозначим через при бесконечную последовательность точек из имеющих предельной точкой, и такую, что характеристические плоскости

имеют пределом плоскость:

равенство

где обозначает голоморфную в функцию, обращающуюся в нуль в точках дает при неограниченно возрастающем

В частности, для имеем:

следовательно,

Считаем доказанным, что все произзодные порядка 1 обращаются в нуль в и докажем, что то же самое будет для производных порядка При нашем предположении имеем:

откуда выводим:

Развертывая и заменяя через получим:

Так как числа различны, то из этих уравнений следует

Таким образом все производные будут нулями, каково бы ни было следовательно, функция есть тождественный нуль и теорема доказана.