§ 4. Непрерывные множества.

Множество есть множество плотное в области если его производное содержит все точки области

Говорят, что множество точек есть множество непрерывное, если, взяв произвольно две точки этого множества, можно найти ломаную линию, соединяющую точку с точкой все вершины которой принадлежат множеству, а все стороны меньше, чем любое наперед заданное

Если ограниченное множество не будет непрерывным, то можно найти замкнутую спрямляемую кривую, которая отделяет две точки этого множества и отстоит от точек множества на расстоянии, большем некоторого положительного числа.

Множество не является непрерывным, значит, существуют две точки множества и число такие, что нельзя соединить цепочкой из точек множества звенья которой меньше Рассмотрим множество точек плоскости, для которых расстояние хотя бы до одной точки меньше Это множество есть область и распадается на одну или несколько связных областей граница которых состоит из точек, имеющих минимум расстояний от точек множества в точности равный

Точки не могут принадлежать одной и той же области потому что в противном случае внутри существует кривая, соединяющая на которой можно найти конечную последовательность точек, имеющую первой точкой а последней и такую, что расстояние между двумя последующими точками меньше для каждой из этих точек можно выбрать соответствующую точку из удаленную от нее менее чем на у; тогда две последовательные точки полученной цепочки, состоящей из точек множества удалены менее чем на

Пусть область содержит точку и не содержит существует область содержащаяся полностью внутри содержащая точку и ограниченная спрямляемыми кривыми, расстояние которых от границы области меньше Эта область не содержит следовательно, одна из кривых которые ограничивают эту область, разделяет расстояние точки этой кривой от точки из множества превосходит независимо от того, принадлежит точка области или нет.

Из доказанной теоремы следует, что граница односвязной области есть множество непрерывное. В противном случае существует замкнутая кривая разделяющая точки из Кривая не содержит граничных точек, и либо эта кривая расположена вне но тогда она не может разделять точки области соседние с либо эта кривая

расположена внутри но тогда она не может разделять потому что она может быть превращена в одну точку непрерывной деформацией.